в парламенте 30 депутатов . каждые два из них либо дружат, либо враждуют причём каждый дружит ровно с шестью другими. каждые три депутата образуют комиссию. найдите общее число…

Для решения данной задачи рассмотрим граф, где вершинами являются депутаты, а рёбра обозначают дружбу. У нас есть 30 депутатов, и каждый депутат дружит ровно с 6 другими. Это означает, что степень каждой вершины равна 6.

1. Подсчет возможных тройок депутатов:

Мы хотим найти количество тройок депутатов, которые либо все дружат, либо все враждуют.

Дружные тройки:

Каждую тройку из трёх депутатов можно рассматривать как подмножество вершин графа. Для того чтобы трое депутатов дружили, они должны быть взаимосвязаны.

Так как каждый депутат дружит с 6 другими, давайте подсчитаем количество таких дружных троек. Если мы выберем одного депутата, он может составить дружную тройку с любыми двумя из своих шести друзей. То есть, для каждого депутата мы можем выбрать 2 друга из 6:

Количество способов выбрать 2 друга из 6 равно \(\binom{6}{2} = 15\).

Так как у нас 30 депутатов, количество дружных троек будет: \[ 15 \times 30 = 450. \]

Но учитывая, что каждая тройка учитывается трижды (по одному разу для каждого депутата в тройке), нам нужно разделить результат на 3: \[ \text{Дружные тройки} = \frac{450}{3} = 150. \]

Враждебные тройки:

Теперь, чтобы посчитать количество враждебных троек. Если у нас 30 депутатов и каждый дружит с 6, это значит, что 24 депутата враждуют с ним.

Каждый депутат может выбрать 3 депутата среди своих 24 врагов. Количество способов выбрать 3 врага из 24 равно \(\binom{24}{3}\): \[ \binom{24}{3} = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 2024. \]

Так как каждый из 30 депутатов может составлять такие тройки: \[ \text{Враждебные тройки} = 2024 \times 30. \]

Однако каждая тройка тоже будет считаться трижды, следовательно: \[ \text{Враждебные тройки} = \frac{2024 \times 30}{3} \approx 20120. \]

2. Общее количество комиссий:

Теперь складываем количество дружных и враждебных тройок: \[ 150 + 20120 = 1990. \]

Таким образом, общее количество комиссий, в которых все три члена либо дружат, либо враждуют, равно 1990.