На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

Для решения задачи, давайте обозначим количество семей как \( n \), количество детей в каждой семье как \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) (где \( a_i \) - количество детей в \( i \)-й семье). Мы знаем, что каждый из детей должен быть из своей семьи, и следует выбирать одного ребенка, одну маму и одного папу.

Формула для подсчета способов выбрать один ребёнка из 3 разных семей выглядит следующим образом:

\[ \text{Способы выбора} = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot (n-1) \cdot (n-1) \]

Здесь \( a_i \) - количество детей в \( i \)-й семье, а \( (n-1) \times (n-1) \) - способы выбрать одну маму и одного папу из оставшихся двух семей.

Учитывая, что в задаче сообщается, что всего существует 3630 способов выбора, мы можем записать уравнение:

\[ \sum_{i=1}^{n} a_i (n-1)^2 = 3630 \]

Также, поскольку у нас есть ограничения на детей (от 1 до 10), мы можем перебрать возможные значения \( n \).

1. Начнем с минимального количества семей \( n = 3 \) (так как необходимо выбрать из трех семей).
2. Проведем перебор для различных значений \( n \) и \( a_i \).

Для \( n = 3 \):

\[ \sum_{i=1}^{3} a_i \cdot 4 = 3630 \Rightarrow \sum_{i=1}^{3} a_i = \frac{3630}{4} = 907,5 \quad (\text{неподходящее значение}) \]

Для \( n = 4 \):

\[ \sum_{i=1}^{4} a_i \cdot 9 = 3630 \Rightarrow \sum_{i=1}^{4} a_i = \frac{3630}{9} = 403,33 \quad (\text{неподходящее значение}) \]

Для \( n = 5 \):

\[ \sum_{i=1}^{5} a_i \cdot 16 = 3630 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} a_i = \frac{3630}{16} = 226,875 \quad (\text{неподходящее значение}) \]

Для \( n = 6 \):

\[ \sum_{i=1}^{6} a_i \cdot 25 = 3630 \Rightarrow \sum_{i=1}^{6} a_i = \frac{3630}{25} = 145,2 \quad (\text{неподходящее значение}) \]

Для \( n = 10 \):

\[ \sum_{i=1}^{10} a_i \cdot 81 = 3630 \Rightarrow \sum_{i=1}^{10} a_i = \frac{3630}{81} = 44,8148 \quad (\text{неподходящее значение}) \]

Пробуя дальше, мы видим, что с увеличением количества семей, сумма детей уменьшается, и при 11 — 12 семьях мы всё еще не достигаем правильного целочисленного результата.

При \( n = 10 \) имеем, что максимальное количество детей может равняться \( 10 \) и \( 90 \) соответственно, подбивая до:

\[ \text{Таким образом, общее количество детей могло быть от 30 до 90.} \]

Таким образом, мы можем утверждать, что в начале Нового года могло быть 90 детей (при самих максимальных параметрах) или сходящиеся семьи 36, уместно приработка к 1-10.

Таким образом, выводя результаты, можно заключить, что общее количество детей на вечере может составлять около 90.