На экзамене 5 студентов и каждый из них имеет 80 % шанс на успешную сдачу. найдите вероятность того что только один сдаст экзамен успешно

Чтобы найти вероятность того, что только один студент из пяти успешно сдаст экзамен, мы можем использовать биномиальное распределение.

Формула для расчета вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что ровно \( k \) студентов сдали экзамен,
• \( n \) — общее количество студентов (в данном случае 5),
• \( k \) — количество успешно сдавших студентов (в данном случае 1),
• \( p \) — вероятность успешной сдачи экзамена (80%, или 0.8),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который равен \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Подставим значения в формулу:

1. \( n = 5 \), \( k = 1 \), \( p = 0.8 \)

2. Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(5, 1) \): \[ C(5, 1) = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5 \]

3. Теперь подставим все в формулу: \[ P(X = 1) = 5 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^{4} \] \[ = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.2^4 \] \[ = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 \] \[ = 5 \cdot 0.00128 = 0.0064 \]

Таким образом, вероятность того, что только один студент из пяти сдаст экзамен успешно, составляет 0.0064, или 0.64%.