В каждом из 3 испытаний вероятность успеха равна 0,6. Найдите вероятность того, что будет хотя бы два успеха
Чтобы найти вероятность того, что будет хотя бы два успеха в трех испытаниях, можно использовать распределение Бернулли. Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,6, а вероятность неудачи — 0,4.
Обозначим:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что будет ровно \( k \) успехов,
- \( n = 3 \) — общее число испытаний,
- \( p = 0.6 \) — вероятность успеха в одном испытании,
- \( q = 1 - p = 0.4 \) — вероятность неудачи.
Мы ищем вероятность события \( X \geq 2 \), что означает, что у нас должно быть как минимум два успеха. Это можно выразить как сумму вероятностей для двух и трех успехов:
\[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3). \]
Теперь рассчитаем каждую из вероятностей с помощью формулы для распределения Бернулли:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \]
где \( C(n, k) \) — сочетание из \( n \) по \( k \), которое вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]
- Вероятность получить ровно 2 успеха \( (X = 2) \):
\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^1. \]
Сначала найдем \( C(3, 2) \):
\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3. \]
Теперь подставим в формулу:
\[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.6)^2 \cdot (0.4)^1 = 3 \cdot 0.36 \cdot 0.4 = 3 \cdot 0.144 = 0.432. \]
- Вероятность получить ровно 3 успеха \( (X = 3) \):
\[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^0. \]
Считаем:
\[ C(3, 3) = 1, \]
поэтому:
\[ P(X = 3) = 1 \cdot (0.6)^3 \cdot 1 = (0.6)^3 = 0.216. \]
- Сложим вероятности:
\[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.432 + 0.216 = 0.648. \]
Таким образом, вероятность того, что будет хотя бы два успеха в трех испытаниях, равна \( 0.648 \) или \( 64.8\% \).
