Известно,что озимая рожь успешен переносит зиму с вероятностью 9/10. Если озимая рожь успешно перенесёт зиму,то вероятность того, что озимая пшеница успешно перезимует, равна 13/15. Если же озимую рожь весной придётся пересеивать, то вероятность того, что придётся пересеивать и озимую пшеницу,равна 4/5. Найдите вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют

Question 1

Задача Задача №1603838

А

Аноним

24 сентября 2024 08:12 · публичный вопрос

А

Аноним 24 сентября 2024 08:12

Известно,что озимая рожь успешен переносит зиму с вероятностью 9/10. Если озимая рожь успешно перенесёт зиму,то вероятность того, что озимая пшеница успешно перезимует, равна 13/15. Если же озимую рожь весной придётся пересеивать, то вероятность того, что придётся пересеивать и озимую пшеницу,равна 4/5. Найдите вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют

Answer

Для решения этой задачи удобно использовать теорему полной вероятности и правила условной вероятности. Давайте обозначим события:

\( A_1 \): озимая рожь успешно перенесла зиму.
\( A_2 \): озимая пшеница успешно перезимует.

Из условия задачи мы знаем следующее:

\( P(A_1) = \frac{9}{10} \)
Если рожь успешно перенесёт зиму, то \( P(A_2 | A_1) = \frac{13}{15} \).
Если рожь не удастся (то есть, весной её придётся пересеивать), вероятность того, что придётся пересеивать и озимую пшеницу, равна \( P(A_2^c | A_1^c) = \frac{4}{5} \), откуда следует \( P(A_2 | A_1^c) = 1 - P(A_2^c | A_1^c) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \).

Теперь мы можем найти вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют, используя формулу полной вероятности:

\[ P(A_2) = P(A_2 | A_1) \cdot P(A_1) + P(A_2 | A_1^c) \cdot P(A_1^c) \]

Сначала найдём \( P(A_1^c) \):

\[ P(A_1^c) = 1 - P(A_1) = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} \]

Теперь подставим все известные нам вероятности в формулу:

\[ P(A_2) = \left(\frac{13}{15} \cdot \frac{9}{10}\right) + \left(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10}\right) \]

Посчитаем каждое слагаемое:

Первое слагаемое: \[ \frac{13}{15} \cdot \frac{9}{10} = \frac{13 \cdot 9}{15 \cdot 10} = \frac{117}{150} \]
Второе слагаемое: \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{50} \]

Теперь приведём \( \frac{1}{50} \) к общему знаменателю 150: \[ \frac{1}{50} = \frac{3}{150} \]

Сложим оба слагаемых: \[ P(A_2) = \frac{117}{150} + \frac{3}{150} = \frac{120}{150} = \frac{4}{5} \]

Теперь мы можем найти вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют. Это будет:

\[ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) = \frac{9}{10} \cdot \frac{13}{15} = \frac{117}{150} = \frac{39}{50} \]

Таким образом, вероятность того, что озимая рожь и озимая пшеница успешно перенесут зиму, равна \( \frac{39}{50} \).

Question 2

известно,что озимая рожь успешен переносит зиму с вероятностью 9/10. Если озимая рожь успешно перенесёт зиму,то вероятность того, что озимая пшеница успешно перезимует, равна 13/15. Если же озимую рожь весной придётся пересеивать, то вероятность того, что придётся пересеивать и озимую пшеницу,равна 4/5. Найдите вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют

Answer

Для решения этой задачи удобно использовать теорему полной вероятности и правила условной вероятности. Давайте обозначим события: - \( A_1 \): озимая рожь успешно перенесла зиму. - \( A_2 \): озимая пшеница успешно перезимует. Из условия задачи мы знаем следующее: - \( P(A_1) = \frac{9}{10} \) - Если рожь успешно перенесёт зиму, то \( P(A_2 | A_1) = \frac{13}{15} \). - Если рожь не удастся (то есть, весной её придётся пересеивать), вероятность того, что придётся пересеивать и озимую пшеницу, равна \( P(A_2^c | A_1^c) = \frac{4}{5} \), откуда следует \( P(A_2 | A_1^c) = 1 - P(A_2^c | A_1^c) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \). Теперь мы можем найти вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют, используя формулу полной вероятности: \[ P(A_2) = P(A_2 | A_1) \cdot P(A_1) + P(A_2 | A_1^c) \cdot P(A_1^c) \] Сначала найдём \( P(A_1^c) \): \[ P(A_1^c) = 1 - P(A_1) = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} \] Теперь подставим все известные нам вероятности в формулу: \[ P(A_2) = \left(\frac{13}{15} \cdot \frac{9}{10}\right) + \left(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10}\right) \] Посчитаем каждое слагаемое: 1. Первое слагаемое: \[ \frac{13}{15} \cdot \frac{9}{10} = \frac{13 \cdot 9}{15 \cdot 10} = \frac{117}{150} \] 2. Второе слагаемое: \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{50} \] Теперь приведём \( \frac{1}{50} \) к общему знаменателю 150: \[ \frac{1}{50} = \frac{3}{150} \] Сложим оба слагаемых: \[ P(A_2) = \frac{117}{150} + \frac{3}{150} = \frac{120}{150} = \frac{4}{5} \] Теперь мы можем найти вероятность того, что и рожь, и пшеница успешно перезимуют. Это будет: \[ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) = \frac{9}{10} \cdot \frac{13}{15} = \frac{117}{150} = \frac{39}{50} \] Таким образом, вероятность того, что озимая рожь и озимая пшеница успешно перенесут зиму, равна \( \frac{39}{50} \).