ABCDA1B1C1D1  — куб. Точка K лежит на ребре AB куба так, что AK : KB  =  2 : 1. Найдите значение выражения где φ  — угол между прямыми A1K и B1D1.

Выражение может быть легко вычислено с использованием формулы косинуса угла между векторами. Используя координаты точек A, B, A1, B1, K, и D1, мы можем найти векторы A1K и B1D1. Затем мы можем использовать формулу косинуса для нахождения значения угла φ:

cosφ = (A1K·B1D1) / (|A1K|·|B1D1|)

Где · обозначает скалярное произведение векторов, и |A1K| и |B1D1| обозначают длины векторов A1K и B1D1 соответственно.

Запишем координаты векторов: A1K = (xK - xA1, yK - yA1, zK - zA1) B1D1 = (xD1 - xB1, yD1 - yB1, zD1 - zB1)

Теперь найдем значения векторов: A1K = (2x - xA, 2y - yA, 2z - zA) B1D1 = (x - xB, y - yB, z - zB)

Подставим эти значения в формулу косинуса и выразим φ:

cosφ = ((2x - xA)(x - xB) + (2y - yA)(y - yB) + (2z - zA)(z - zB)) / (|(2x - xA, 2y - yA, 2z - zA)|·|(x - xB, y - yB, z - zB)|)

Для конкретных координат точек A, B, A1, B1, K и D1 можно подставить значения и вычислить значение φ.