(3|y|/4)-y^2<=0
Чтобы решить неравенство \(\frac{3|y|}{4} - y^2 \leq 0\), нужно сначала привести его к более удобному виду.
- Мы можем начать с того, чтобы перенести \(-y^2\) на правую сторону:
\[ \frac{3|y|}{4} \leq y^2 \]
- Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби (поскольку 4 положительно, знак неравенства не изменится):
\[ 3|y| \leq 4y^2 \]
- Теперь разделим обе стороны на 3 (также положительное число):
\[ |y| \leq \frac{4y^2}{3} \]
- Для дальнейшего анализа рассмотрим два случая: когда \(y\) положительное и отрицательное, поскольку на модуль влияет знак числа.
Случай 1: \(y \geq 0\) (тогда \(|y| = y\))
\[ y \leq \frac{4y^2}{3} \]
Переместим все на одну сторону:
\[ 0 \leq \frac{4y^2}{3} - y \]
Умножим на 3:
\[ 0 \leq 4y^2 - 3y \]
Факторизуем:
\[ 0 \leq y(4y - 3) \]
Теперь анализируем произведение \(y(4y - 3)\):
\(y = 0\) либо \(4y - 3 = 0\) (что дает \(y = \frac{3}{4}\)).
Теперь определим промежутки: рассматриваем \(y < 0\), \(0 < y < \frac{3}{4}\) и \(y > \frac{3}{4}\).
При \(y < 0\) - произведение отрицательно.
При \(0 < y < \frac{3}{4}\) - одно положительное, другое отрицательное, значит, результат отрицательный.
При \(y = 0\) результат равен 0.
При \(y > \frac{3}{4}\) - оба множителя положительные, значит, результат положителен.
Таким образом, для первого случая, \(y \geq 0\), решения: \[ y \in [0, \frac{3}{4}] \]
Случай 2: \(y < 0\) (тогда \(|y| = -y\))
\[ -y \leq \frac{4y^2}{3} \]
Умножим на -1 (не забывайте, что знак неравенства меняется):
\[ y \geq -\frac{4y^2}{3} \]
Перемещаем всё на одну сторону:
\[ 0 \geq -\frac{4y^2}{3} - y \]
или
\[ 0 \leq \frac{4y^2}{3} + y \]
Умножим на 3:
\[ 0 \leq 4y^2 + 3y \]
Факторизуем:
\[ 0 \leq y(4y + 3) \]
Решения:
\(y = 0\) или \(4y + 3 = 0\) (что дает \(y = -\frac{3}{4}\)).
Для промежутков анализируем, как и раньше.
При \(y < -\frac{3}{4}\) - оба множителя отрицательные.
При \(-\frac{3}{4} < y < 0\) - один положительный, другой отрицательный.
Таким образом, для второго случая \(y < 0\), решения: \[ y \in [-\frac{3}{4}, 0] \]
Соберем результаты вместе:
Объединяя результаты из обоих случаев, получаем окончательный ответ:
\[ y \in [-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}] \]
Это решение нашего неравенства! Если у вас есть другие вопросы или требуется больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!
