Решите

Привет! Давай разберемся с заданиями по порядку.

Задание 1

Найдите значение выражения:

а) \(\sqrt{\frac{3^9}{0,125}}\)

1. Найдем значение 0,125 в виде степени. \(0,125 = \frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}\).
2. Тогда выражение принимает вид: \(\sqrt{\frac{3^9}{2^{-3}}}\).
3. Преобразуем знаменатель: \(\frac{3^9}{2^{-3}} = 3^9 \cdot 2^3\).
4. Найдем корень: \(\sqrt{3^9 \cdot 2^3} = 3^{9/2} \cdot 2^{3/2}\).

Ответ: \(3^{9/2} \cdot 2^{3/2}\).

б) \(\sqrt[4]{3^8 \cdot 2^5}\)

1. \(\sqrt[4]{3^8 \cdot 2^5} = 3^{8/4} \cdot 2^{5/4}\).
2. Упростим степени: \(3^2 \cdot 2^{5/4}\).

Ответ: \(3^2 \cdot 2^{5/4}\).

Задание 2

Вычислите:

а) \(\sqrt[3]{8 \cdot \sqrt{2}}\)

1. Распишем подкоренное выражение: \(8 = 2^3\).
2. Тогда выражение примет вид: \(\sqrt[3]{2^3 \cdot \sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt[3]{2^{3 + 1/2}}\).
3. Найдем сумму показателей: \(2^{3 + 1/2} = 2^{3.5} = 2^{7/2}\).
4. Найдем кубический корень: \(\sqrt[3]{2^{7/2}} = 2^{7/6}\).

Ответ: \(2^{7/6}\).

б) \(\sqrt[4]{2^{11} \cdot 6^2 \cdot 3^2}\)

1. Распишем \(6^2\) как \( (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2\).
2. Тогда выражение примет вид: \(\sqrt[4]{2^{11} \cdot 2^2 \cdot 3^2} = \sqrt[4]{2^{13} \cdot 3^2}\).
3. Найдем значения корней: \(\sqrt[4]{2^{13}} = 2^{13/4}\), \(\sqrt[4]{3^2} = 3^{2/4} = 3^{1/2}\).
4. Финальный ответ: \(2^{13/4} \cdot 3^{1/2}\).

Ответ: \(2^{13/4} \cdot 3^{1/2}\).

Задание 3

Вычислите: \(\sqrt[10]{10 + \sqrt{19} \cdot \sqrt[10]{10 - \sqrt{19}}}\)

1. Пусть \( a = \sqrt[10]{10 + \sqrt{19}} \) и \( b = \sqrt[10]{10 - \sqrt{19}} \).
2. Найдем произведение \( a \cdot b \): \( \sqrt[10]{(10 + \sqrt{19}) \cdot (10 - \sqrt{19})}\).
3. Упростим под знаком корня: \( (10 + \sqrt{19}) \cdot (10 - \sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81 \).
4. \(\sqrt[10]{81}\).

Ответ: \(81^{1/10}\).

Готово! Надеюсь, помог разобраться!