(х²+6х) ²-5(х²+6х) =24
Решим уравнение \((x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24\).
Подстановка: Давайте введем новую переменную \( y = x^2 + 6x \). Тогда уравнение преобразуется в: \[ y^2 - 5y - 24 = 0 \]
Решение квадратного уравнения: Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Для нашего уравнения \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -24 \): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \]
Находим корни: Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 11}{2} \] Это дает нам два корня: \[ y_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Возвращаемся к \( x \): Теперь нужно решим для \( x \):
Для \( y_1 = 8 \): \[ x^2 + 6x = 8 \implies x^2 + 6x - 8 = 0 \] Снова применяем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68 \] Находим корни: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17} \] То есть, \( x_1 = -3 + \sqrt{17} \) и \( x_2 = -3 - \sqrt{17} \).
Для \( y_2 = -3 \): \[ x^2 + 6x = -3 \implies x^2 + 6x + 3 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24 \] Находим корни: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6} \] То есть, \( x_3 = -3 + \sqrt{6} \) и \( x_4 = -3 - \sqrt{6} \).
Итог: Все корни уравнения:
- \( x_1 = -3 + \sqrt{17} \)
- \( x_2 = -3 - \sqrt{17} \)
- \( x_3 = -3 + \sqrt{6} \)
- \( x_4 = -3 - \sqrt{6} \)
Если есть дополнительные вопросы или нужно уточнить какое-то из шагов, не стесняйтесь спрашивать!
