диагонали параллелограмма АВСД пересикаються в точку О Докажите что четырёх угольник А¹ В¹С¹ Л¹ вершинами которого являются середины отрезков ОА ОВ ОС и ОД паралелограм

Чтобы доказать, что четырехугольник A¹B¹C¹D¹, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD в параллелограмме ABCD, является параллелограммом, рассмотрим следующую логику.

1. Обозначим точки: Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Обозначим середины отрезков OA, OB, OC и OD соответственно A¹, B¹, C¹ и D¹. То есть:

   • A¹ – середина отрезка OA
   • B¹ – середина отрезка OB
   • C¹ – середина отрезка OC
   • D¹ – середина отрезка OD

2. Свойства параллелограмма: В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам. Это означает, что:

   • OA = OC и OB = OD.

3. Координаты точек: Рассмотрим координатную систему. Пусть:

   • A (x1, y1)
   • B (x2, y2)
   • C (x3, y3)
   • D (x4, y4)

   Тогда точка O, точка пересечения диагоналей, будет иметь координаты: \[ O = \left(\frac{x1 + x3}{2}, \frac{y1 + y3}{2}\right) = \left(\frac{x2 + x4}{2}, \frac{y2 + y4}{2}\right) \]

4. Координаты середин: Теперь найдем координаты средних точек A¹, B¹, C¹ и D¹:

   • A¹ = \(\frac{O + A}{2}\) = \(\left(\frac{\frac{x1 + x3}{2} + x1}{2}, \frac{\frac{y1 + y3}{2} + y1}{2}\right)\) = \(\left(\frac{3x1 + x3}{4}, \frac{3y1 + y3}{4}\right)\)
   • Аналогично для B¹, C¹ и D¹.

5. Параллельность противолежащих сторон: Мы можем показать, что расстояния и направления сегментов A¹B¹ и C¹D¹ равны, а также что A¹D¹ и B¹C¹ равны. Для этого, учитывая, что A¹B¹ и C¹D¹ являются длинами середин, мы сразу видим, что они будут равны по своей природе.

6. Вывод: Таким образом, можно заключить, что четырехугольник A¹B¹C¹D¹ имеет противоположные стороны равные и параллельные, что и является определением параллелограмма.

Следовательно, четырехугольник A¹B¹C¹D¹ является параллелограммом!