Докажите, что сумма 67*47+67*18 делится на 13

Чтобы доказать, что сумма \(67 \times 47 + 67 \times 18\) делится на 13, начнем с фактора:

\[ 67 \times 47 + 67 \times 18 = 67 \times (47 + 18) \]

Теперь вычислим \(47 + 18\):

\[ 47 + 18 = 65 \]

Таким образом, выражение можно упростить до:

\[ 67 \times 65 \]

Теперь нам нужно показать, что это произведение делится на 13. Сначала проверим, делится ли 67 на 13:

\[ 67 \div 13 = 5.1538 \quad (\text{Не делится нацело}) \]

Теперь проверим делимость 65 на 13:

\[ 65 \div 13 = 5 \quad (\text{Делится нацело}) \]

Если произведение делится на одно из чисел, то мы можем перепроверить все вместе. Чтобы легче работать с делимостью, можно взять остатки от деления:

\[ 67 \mod 13 = 2 \quad (\text{поскольку } 67 - 5 \times 13 = 67 - 65 = 2) \] \[ 65 \mod 13 = 0 \]

Теперь рассчитаем остаток при делении всего произведения на 13:

\[ 67 \times 65 \equiv 2 \times 0 \equiv 0 \mod 13 \]

Поскольку результат равен 0, это значит, что произведение \(67 \times 65\) делится на 13. Следовательно, сумма \(67 \times 47 + 67 \times 18\) также делится на 13.

Таким образом, мы доказали, что:

\[ 67 \times 47 + 67 \times 18 \text{ делится на } 13. \]