{х²+6х-40<0 х²+3х-18>0
Чтобы решить данную систему неравенств, давайте сначала решим каждое из них по отдельности.
- Первое неравенство: \( x^2 + 6x - 40 < 0 \)
Сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 6x - 40 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 \]
Корни уравнения можно найти по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 14}{2} \]
Это дает два корня:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-20}{2} = -10 \]
Теперь нам нужно определить промежутки, где неравенство \( x^2 + 6x - 40 < 0 \) выполняется. Создаем числовую прямую с корнями -10 и 4:
- Для интервала \( (-\infty, -10) \) выбираем, например, \( x = -11 \): \[ (-11)^2 + 6 \cdot (-11) - 40 = 121 - 66 - 40 = 15 > 0 \]
- Для интервала \( (-10, 4) \) выбираем, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 6 \cdot 0 - 40 = -40 < 0 \]
- Для интервала \( (4, +\infty) \) выбираем, например, \( x = 5 \): \[ 5^2 + 6 \cdot 5 - 40 = 25 + 30 - 40 = 15 > 0 \]
Таким образом, первое неравенство выполняется на интервале \( (-10, 4) \).
- Второе неравенство: \( x^2 + 3x - 18 > 0 \)
Аналогично найдем корни уравнения \( x^2 + 3x - 18 = 0 \):
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \]
Корни:
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 \pm 9}{2} \] \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-12}{2} = -6 \]
Теперь определим промежутки для \( x^2 + 3x - 18 > 0 \):
- Для интервала \( (-\infty, -6) \) выбираем, например, \( x = -7 \): \[ (-7)^2 + 3 \cdot (-7) - 18 = 49 - 21 - 18 = 10 > 0 \]
- Для интервала \( (-6, 3) \) выбираем, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 3 \cdot 0 - 18 = -18 < 0 \]
- Для интервала \( (3, +\infty) \) выбираем, например, \( x = 4 \): \[ 4^2 + 3 \cdot 4 - 18 = 16 + 12 - 18 = 10 > 0 \]
Это означает, что второе неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -6) \) и \( (3, +\infty) \).
- Объединение результатов:
Теперь нам нужно найти пересечение интервалов:
- Первое неравенство: \( (-10, 4) \)
- Второе неравенство: \( (-\infty, -6) \) и \( (3, +\infty) \)
Пересечения:
- Для \( (-10, 4) \) и \( (-\infty, -6) \): пересечение \( (-10, -6) \)
- Для \( (-10, 4) \) и \( (3, +\infty) \): пересечение \( (3, 4) \)
Итак, решение данной системы неравенств:
\[ x \in (-10, -6) \cup (3, 4) \]
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой темой, дайте знать!
