Катер отправился в пусть из пункта A в 12:00 и по течен ю реки до пункта B прошёл 80 км.повернув обратно, он прошёл ещё 99 км и завершил путешествие в пункте C в 19:00 .найди собственную скорость катера , если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Давайте решим эту задачу, шаг за шагом.
Обозначим все известные данные:
- Время отправления из пункта A: 12:00.
- Расстояние от A до B: 80 км.
- Расстояние от B до C, когда катер вернулся: 99 км.
- Время прибытия в пункт C: 19:00.
- Скорость течения реки: 5 км/ч.
Определим общее время пути: Путешествие началось в 12:00 и закончилось в 19:00, значит катер был в пути 7 часов.
Время на маршруте A -> B: Обозначим скорость катера в стоячей воде как V. Тогда скорость катера на маршруте A -> B будет V + 5 км/ч (поскольку катер движется по течению).
Нам нужно найти время, которое катер потратил на путь A -> B: \[ t_1 = \frac{80 \text{ км}}{V + 5 \text{ км/ч}}. \]
Время на маршруте B -> C: Когда катер вернулся из B в C, он двигался против течения, следовательно, его скорость составила V - 5 км/ч. Время на маршруте B -> C можно записать как: \[ t_2 = \frac{99 \text{ км}}{V - 5 \text{ км/ч}}. \]
Запишем уравнение: Общее время: \(t_1 + t_2 = 7\) часов: \[ \frac{80}{V + 5} + \frac{99}{V - 5} = 7. \]
Решим уравнение: Умножим обе части на \((V + 5)(V - 5)\) для избавления от дробей: \[ 80(V - 5) + 99(V + 5) = 7(V + 5)(V - 5). \] Раскроем скобки: \[ 80V - 400 + 99V + 495 = 7(V^2 - 25). \] Это приводит к: \[ 179V + 95 = 7V^2 - 175. \]
Перепишем уравнение: \[ 7V^2 - 179V - 270 = 0. \]
Используем формулу квадратного уравнения: Решим уравнение \(7V^2 - 179V - 270 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-179)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-270). \] Вычислим: \[ D = 32041 + 7560 = 39601. \]
Находим корни уравнения: \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{179 \pm \sqrt{39601}}{14}. \] Находим \(\sqrt{39601} \approx 199\), тогда: \[ V = \frac{179 \pm 199}{14}. \] Получаем два значения: \[ V_1 = \frac{378}{14} = 27, \quad V_2 = \frac{-20}{14} \text{ (не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной)}. \]
Таким образом, собственная скорость катера составляет 27 км/ч.
