Упростите выражение при x = 5/6 (9x ^ 2 - 1)/(1 + 6x + 9x ^ 2) | найдите его числовое значение
Чтобы упростить выражение \(\frac{9x^2 - 1}{1 + 6x + 9x^2}\) и найти его числовое значение при \(x = \frac{5}{6}\), начнём с упрощения самого выражения.
Обратите внимание на числитель: \[ 9x^2 - 1 \] Это разность квадратов, которую можно разложить так: \[ 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) \]
Теперь рассмотрим знаменатель: \[ 1 + 6x + 9x^2 \] Это можно записать в виде полного квадрата: \[ 1 + 6x + 9x^2 = (3x + 3)^2 \]
Подставим разложенные формы в выражение: \[ \frac{(3x - 1)(3x + 1)}{(3x + 3)^2} \]
Теперь мы можем упростить это выражение. Однако, это делается не всегда легко, поэтому давайте продолжим с подстановкой значения \(x = \frac{5}{6}\).
Подставим \(x\) в упрощённое выражение:
Сначала находите \(3x\) при \(x = \frac{5}{6}\): \[ 3 \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \]
Теперь подставим \(3x\) в числитель: \[ 3x - 1 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{5}{2} - \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \] \[ 3x + 1 = \frac{5}{2} + 1 = \frac{5}{2} + \frac{2}{2} = \frac{7}{2} \]
В числителе у нас будет: \[ \left(\frac{3}{2}\right) \left(\frac{7}{2}\right) = \frac{21}{4} \]
Теперь найдем знаменатель: \[ (3x + 3)^2 = \left(\frac{5}{2} + 3\right)^2 = \left(\frac{5}{2} + \frac{6}{2}\right)^2 = \left(\frac{11}{2}\right)^2 = \frac{121}{4} \]
Теперь мы можем подставить числитель и знаменатель в итоговое выражение: \[ \frac{\frac{21}{4}}{\frac{121}{4}} = \frac{21}{121} \]
Итак, числовое значение выражения при \(x = \frac{5}{6}\) равно \(\frac{21}{121}\).
