АС=4, <ВАС=75°, <АВС=60° найти АВ

Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \) можно использовать закон синусов. Сначала запишем известные данные:

• \( AC = 4 \)
• \( \angle BAC = 75^\circ \)
• \( \angle ABC = 60^\circ \)

Сначала найдем угол \( \angle ACB \) с помощью теоремы о сумме углов в треугольнике, которая гласит, что сумма всех углов треугольника равна \( 180^\circ \).

\[ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ \]

Теперь мы можем использовать закон синусов, который говорит о том, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла в любом треугольнике остается постоянным:

\[ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \]

Подставим известные величины:

\[ \frac{AB}{\sin(45^\circ)} = \frac{4}{\sin(60^\circ)} \]

Значения синусов:

• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Теперь подставим их в уравнение:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Теперь выразим \( AB \):

\[ AB = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \]

Для более удобного формата, можно рационализировать знаменатель:

\[ AB = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3} \]

Итак, длина стороны \( AB \) равна \( \frac{4\sqrt{6}}{3} \).