10/х-3/2-х≤0

Чтобы решить неравенство \( \frac{10}{x} - \frac{3}{2 - x} \leq 0 \), начнем с объединения дробей и приведения их к одному знаменателю.

1. Убедимся, что дроби имеют общий знаменатель. Объединим дроби, используя общий знаменатель \( 2x(2 - x) \):

   \[ \frac{10(2 - x)}{2x(2 - x)} - \frac{3x}{2x(2 - x)} \leq 0 \]

   Упрощая, мы получаем:

   \[ \frac{20 - 10x - 3x}{2x(2 - x)} \leq 0 \]

   Это упрощается до:

   \[ \frac{20 - 13x}{2x(2 - x)} \leq 0 \]

2. Найдем нули числителя и знаменателя:

   1. Числитель: \( 20 - 13x = 0 \) \(\Rightarrow x = \frac{20}{13}\).
   2. Знаменатель: \( 2x(2 - x) = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\) или \( x = 2\).

   Теперь, у нас есть три ключевые точки: \( x = 0 \), \( x = 2 \) и \( x = \frac{20}{13} \).

3. Определим знаки функции на интервалах, образованных этими точками:

   • Для \( x < 0 \): (выбираем, например, \( x = -1 \)): \[ \frac{20 - 13(-1)}{2(-1)(2 - (-1))} = \frac{20 + 13}{-4} < 0 \]

   • Для \( 0 < x < \frac{20}{13} \): (выбираем, например, \( x = 1 \)): \[ \frac{20 - 13(1)}{2(1)(2 - 1)} = \frac{20 - 13}{2} > 0 \]

   • Для \( \frac{20}{13} < x < 2 \): (выбираем, например, \( x = 1.5 \)): \[ \frac{20 - 13(1.5)}{2(1.5)(2 - 1.5)} = \frac{20 - 19.5}{3} > 0 \]

   • Для \( x > 2 \): (выбираем, например, \( x = 3 \)): \[ \frac{20 - 13(3)}{2(3)(2 - 3)} = \frac{20 - 39}{-6} < 0 \]

4. Теперь проанализируем знаки:

   • На отрезке \( (-\infty, 0) \): знак отрицательный
   • На отрезке \( (0, \frac{20}{13}) \): знак положительный
   • На отрезке \( (\frac{20}{13}, 2) \): знак положительный
   • На отрезке \( (2, +\infty) \): знак отрицательный

5. Теперь составим итоговый ответ, учитывая, что неравенство включает знак «меньше или равно». Это значит, что мы принимаем нуль в расчет.

Итак, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \]

Эти интервалы удовлетворяют данному неравенству.