если q=-1/2, S8=85/64 в геометрической прогресси , найдите b1
Чтобы найти первый член геометрической прогрессии \( b_1 \) при известных значениях \( q = -\frac{1}{2} \) и \( S_8 = \frac{85}{64} \), можно воспользоваться формулами для суммы первых \( n \) членов.
Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии выражается формулой:
\[ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
Для данного случая имеем:
\[ S_8 = b_1 \frac{1 - q^8}{1 - q} \]
Подставив известные значения \( S_8 \) и \( q \):
\[ \frac{85}{64} = b_1 \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^8}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} \]
Сначала вычислим \( \left(-\frac{1}{2}\right)^8 \):
\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1}{256} \]
Теперь подставим это значение в формулу:
\[ \frac{85}{64} = b_1 \frac{1 - \frac{1}{256}}{1 + \frac{1}{2}} \]
Упростим выражение:
- В числителе:
\[ 1 - \frac{1}{256} = \frac{256 - 1}{256} = \frac{255}{256} \]
- В знаменателе:
\[ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
Теперь подставим эти результаты обратно в формулу:
\[ \frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{2}} = b_1 \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{2}{3} \]
Упрощаем правую часть:
\[ \frac{255 \cdot 2}{256 \cdot 3} = \frac{510}{768} \]
Таким образом, у нас получаем:
\[ \frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{510}{768} \]
Теперь умножим обе стороны на \( \frac{768}{510} \):
\[ b_1 = \frac{85}{64} \cdot \frac{768}{510} \]
Теперь можно упростить:
- Сначала упростим дробь:
\[ b_1 = \frac{85 \cdot 768}{64 \cdot 510} \]
- Сократим \( 768\) и \( 64\):
\[ b_1 = \frac{85 \cdot 12}{510} = \frac{1020}{510} \]
- Упростим:
\[ b_1 = 2 \]
Итак, первый член \( b_1 \) геометрической прогрессии равен \( 2 \).
