Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Используем неравенство треугольника: в любом треугольнике сумма длин любых двух сторон должна быть больше, чем длина третьей стороны.

a) Пусть большая сторона треугольника равна a, а меньшая сторона равна b. Тогда, по условию, отношение a/b = 13/7. По неравенству треугольника, должно выполняться a < a + b, что приводит к неравенству: a/7 < a/7 + b/7. Распишем его: 13a/7 < (a + b)/7. Умножим обе части на 7: 13a < a + b. Теперь заметим, что b не может быть равно 0, иначе получим a = 13a, что невозможно. Значит, b > 0, и мы можем поделить обе части неравенства на b: 13a/b < a/b + b/b, что приводит к неравенству: 13a/b < 1 + 1. Так как a/b = 13/7, то имеем: 13*(13/7) < 2, что не выполняется. Значит, отношение большей стороны к меньшей не может быть 13/7.

б) Аналогично предыдущему пункту, отношение a/b = 8/7. По неравенству треугольника, должно выполняться a < a + b, что приводит к неравенству: a/7 < a/7 + b/7. Распишем его: 8a/7 < (a + b)/7. Умножим обе части на 7: 8a < a + b. Заметим, что a не может быть равно 0, иначе получим 0 = b, что невозможно. Значит, a > 0, и мы можем поделить обе части неравенства на a: 8 < 1 + b/a. Так как b/a = 7/8, то имеем: 8 < 1 + 7/8, что не выполняется. Значит, отношение большей стороны к меньшей не может быть 8/7.

в) Пусть наибольшее число равно a, а наименьшее число равно b. Третье число будет лежать между ними и будем обозначать его с. Тогда среднее значение чисел будет равно (a + b + с) / 3 = 25. Умножим обе части равенства на 3: a + b + с = 75. Заметим, что a + с > b, a + b > с и b + с > a, иначе нельзя было бы составить тупоугольный треугольник. Используя это знание, рассмотрим различные варианты. Пусть a > b > c:

a) Если c это наименьшее число, то a + c > b, a + b > c и b + c > a. Тогда 2a > b + c > a. Разделим все части неравенства на a: 2 > b/а + c/a > 1. Заметим, что b/а + c/а это и есть отношение большей стороны к меньшей. Значит, отношение большей стороны к меньшей будет больше 1.

b) Если b это наименьшее число, то a + b > c, a + c > b и b + c > a. Тогда 2a > b + c > a. Разделим все части неравенства на a: 2 > b/а + c/а > 1. Значит, отношение большей стороны к меньшей можно определить в интервале (1, 2).

c) Если a это наименьшее число, то b + a > c, b + c > a и c + a > b. Тогда 2b > a + c > b. Разделим все части неравенства на b: 2 > a/b + c/b > 1. Заметим, что a/b + c/b это и есть отношение большей стороны к меньшей. Значит, отношение большей стороны к меньшей будет больше 1.

Итак, минимальное значение отношения большей стороны к меньшей в данной задаче будет больше 1.