Исследуйте функцию на четность

Привет! Давай разберем 9-е задание: "Исследуйте функцию на четность."

Для этого у нас есть три функции:

1. \( f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x} \)
2. \( f(x) = \frac{5|x - 2| + 5|x + 2|}{x^2 - 1} \)
3. \( f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{x^7} \)

Для определения четности надо проверить:

• Четная функция: \( f(-x) = f(x) \)
• Нечетная функция: \( f(-x) = -f(x) \)
• Ни та ни другая: ни одна из вышеуказанных проверок не выполняется

Начнем по порядку.

1. \( f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x} \)

1. Найдем \( f(-x) \):

\[ f(-x) = \sqrt{4 - (-x)} + \sqrt{4 + (-x)} \] \[ f(-x) = \sqrt{4 + x} + \sqrt{4 - x} \]

Как видим, \( f(-x) = f(x) \), значит функция четная.

2. \( f(x) = \frac{5|x - 2| + 5|x + 2|}{x^2 - 1} \)

2. Найдем \( f(-x) \):

\[ f(-x) = \frac{5|-x - 2| + 5|-x + 2|}{(-x)^2 - 1} \] \[ f(-x) = \frac{5|-(x + 2)| + 5|-(x - 2)|}{x^2 - 1} \] \[ f(-x) = \frac{5|x + 2| + 5|x - 2|}{x^2 - 1} \]

Как видим, \( f(-x) = f(x) \), значит функция также четная.

3. \( f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{x^7} \)

3. Найдем \( f(-x) \):

\[ f(-x) = \frac{1}{(3(-x) - 1)^7} + \frac{1}{(-x)^7} \] \[ f(-x) = \frac{1}{(-3x - 1)^7} + \frac{1}{-x^7} \] \[ f(-x) = \frac{1}{(-3x - 1)^7} - \frac{1}{x^7} \]

Как видим, \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), значит функция ни четная, ни нечетная.

Итак, выводы:

1. \( f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 + x} \) - четная.
2. \( f(x) = \frac{5|x - 2| + 5|x + 2|}{x^2 - 1} \) - четная.
3. \( f(x) = \frac{1}{(3x - 1)^7} + \frac{1}{x^7} \) - ни четная, ни нечетная.

Если еще что-то нужно помочь, не стесняйся спрашивать!