{7x²+16x+4>0 {3x≤0
Чтобы решить систему неравенств, давайте разберем каждое из них по отдельности.
- Первое неравенство: \(7x^2 + 16x + 4 > 0\)
Сначала найдем корни квадратного уравнения \(7x^2 + 16x + 4 = 0\) с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = 7\), \(b = 16\), и \(c = 4\).
Подставляем значения:
\[D = (16)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 4 = 256 - 112 = 144\]
Теперь, поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различимых корня:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 12}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 12}{14} = \frac{-28}{14} = -2\]
Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = -\frac{2}{7}\) и \(x_2 = -2\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, парабола (график функции) открыта вверх. Это значит, что неравенство \(7x^2 + 16x + 4 > 0\) будет истинным вне интервала между корнями.
Таким образом, мы имеем:
\[x < -2 \quad \text{или} \quad x > -\frac{2}{7}\]
- Теперь рассмотрим второе неравенство: \(3x \leq 0\)
Это неравенство можно переписать как:
\[x \leq 0\]
- Теперь нам нужно объединить оба условия:
- Из первого неравенства: \(x < -2\) или \(x > -\frac{2}{7}\)
- Из второго неравенства: \(x \leq 0\)
Объединив их, получаем, что области решения пересекаются:
- Из первого условия \(x < -2\) удовлетворяет второму неравенству.
- Из второго условия \(x > -\frac{2}{7}\) не удовлетворяет \(x \leq 0\), когда \(x > 0\).
Таким образом, окончательное решение системы неравенств:
\[x < -2\]
Это означает, что значения \(x\), удовлетворяющие обеим условиям, лежат в интервале:
\(-\infty < x < -2\)
Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
