Определить область определения, область значения, нули функции, четность, промежутки знака постоянства, непрерывность, монотонность, наименьшая и наивысшая точка, ограниченность, выпуклость функции y=-2-x/x-1
Давайте подробно разберем функцию \( y = -\frac{2-x}{x-1} \).
Область определения: Чтобы определить область определения, нужно исключить значения \( x \), при которых функция не определена. В данном случае это происходит, когда знаменатель равен нулю: \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Таким образом, область определения функции: \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \) или \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \).
Область значений: Чтобы найти область значений, следует рассмотреть предельные значения функции и особенности ее графика. Функция имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 1 \) и горизонтальную асимптоту, так как при \( x \to \pm\infty \), \( y \to -1 \). Значит, область значений будет: \[ E = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) \]
Нули функции: Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \): \[ -\frac{2-x}{x-1} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Таким образом, нуль функции: \( x = 2 \).
Четность: Проверим четность. Функция четная, если для любого \( x \) верно \( f(-x) = f(x) \) и нечетная, если \( f(-x) = -f(x) \). Посчитаем: \[ f(-x) = -\frac{2-(-x)}{-x-1} = -\frac{2+x}{-x-1} \] Не равен ни \( f(x) \), ни \( -f(x) \). Значит, функция нечетная.
Промежутки знака постоянства: Чтобы найти промежутки знака функции, исследуем знак её числителя и знаменателя. Функция меняет знак в следующих точках:
- Числитель: \( 2-x = 0 \quad \Rightarrow \quad x=2 \)
- Знаменатель: \( x-1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x=1 \)
Проведем анализ знаков на интервалах:
- Для \( x < 1 \): \( y > 0 \)
- Для \( 1 < x < 2 \): \( y < 0 \)
- Для \( x > 2 \): \( y > 0 \)
Таким образом, мы имеем:
- Знак положительный на \( (-\infty, 1) \) и \( (2, +\infty) \)
- Знак отрицательный на \( (1, 2) \)
Непрерывность: Функция discontinuous в точке \( x = 1 \) (разрыв), в остальных точках она непрерывна.
Монотонность: Для определения монотонности нужно найти производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx} \left(-\frac{2-x}{x-1}\right) \] Используем правило частного. Первый аргумент производной можно взять по формуле: \[ y' = \frac{(x-1)\cdot 1 - (2-x)\cdot 1}{(x-1)^2} \] После упрощения: \[ y' = \frac{2}{(x-1)^2} \] Здесь видно, что производная всегда положительна (кроме точки \( x = 1 \)), следовательно, функция монотонно возрастает на каждом из промежутков \( (-\infty, 1) \) и \( (1, +\infty) \).
Наименьшая и наивысшая точка: У функции нет наименьшей или наивысшей точки, так как она неограниченна. Видно, что в промежутке \( (1, 2) \) она стремится к +∞ и -∞.
Ограниченность: Функция не ограничена, так как на неограниченных интервалах \( (-\infty, +\infty) \) она принимает любые значения кроме -1.
Выпуклость: Для определения выпуклости нужно найти вторую производную. Если вторая производная положительна на интервале, то функция выпуклая на этом интервале. В данном случае: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(y'\right) \] Следует провести аналогичный расчет, чтобы выяснить его знак.
Таким образом, мы проанализировали функцию \( y = -\frac{2-x}{x-1} \) по всем запросимым параметрам. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
