X(x-1)(x+8)>0

Чтобы решить неравенство \( x(x-1)(x+8) > 0 \), начнем с поиска корней этого уравнения. Мы можем находить корни, приравняв каждый множитель к нулю:

1. \( x = 0 \)
2. \( x - 1 = 0 \) ⇒ \( x = 1 \)
3. \( x + 8 = 0 \) ⇒ \( x = -8 \)

Таким образом, у нас есть три корня: \( x = -8 \), \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Эти корни делят числовую ось на четыре промежутка:

1. \( (-\infty, -8) \)
2. \( (-8, 0) \)
3. \( (0, 1) \)
4. \( (1, +\infty) \)

Теперь мы проверим знак выражения \( x(x-1)(x+8) \) в каждом из этих промежутков.

• Для промежутка \( (-\infty, -8) \) возьмем, например, \( x = -9 \): \[ (-9)(-9-1)(-9+8) = (-9)(-10)(-1) < 0 \]

• Для промежутка \( (-8, 0) \) выберем, скажем, \( x = -4 \): \[ (-4)(-4-1)(-4+8) = (-4)(-5)(4) > 0 \]

• Для промежутка \( (0, 1) \) попробуем \( x = 0.5 \): \[ (0.5)(0.5-1)(0.5+8) = (0.5)(-0.5)(8.5) < 0 \]

• Для промежутка \( (1, +\infty) \) возьмем \( x = 2 \): \[ (2)(2-1)(2+8) = (2)(1)(10) > 0 \]

Теперь мы имеем знаки для всех промежутков:

1. \( (-\infty, -8) \): < 0
2. \( (-8, 0) \): > 0
3. \( (0, 1) \): < 0
4. \( (1, +\infty) \): > 0

Следовательно, неравенство \( x(x-1)(x+8) > 0 \) выполняется на промежутках \( (-8, 0) \) и \( (1, +\infty) \).

Теперь мы можем записать итоговый ответ: \[ x \in (-8, 0) \cup (1, +\infty) \]