1÷2+1÷4+1÷8+...+1÷1024<1 Объясните почему неравенство верно

Рассмотрим последовательность выражений: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{1024} \). Это — последовательность дробей, где каждый последующий член в два раза меньше предыдущего.

Можно заметить, что эта последовательность является геометрической прогрессией, где первый член \( a = \frac{1}{2} \), а общее отношение \( r = \frac{1}{2} \).

Сумма \( S_n \) первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

В нашем случае, мы хотим найти сумму от \( \frac{1}{2} \) до \( \frac{1}{1024} \). Так как \( \frac{1}{1024} = \frac{1}{2^{10}} \), нам нужно вычислить сумму до 10-го члена прогрессии (считаем от \( n = 1 \) до \( n = 10 \)).

Подставим значения в формулу:

\[ S_{10} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{1024} \]

Теперь упростим это уравнение:

\[ S_{10} = 1 - \frac{1}{1024} \]

Это выражение показывает, что сумма первых 10 членов меньше 1:

\[ S_{10} < 1 \]

Таким образом, неравенство \( 1 \div 2 + 1 \div 4 + 1 \div 8 + \ldots + 1 \div 1024 < 1 \) действительно верно, потому что сумма дробей стремится к 1, но не достигает его.