Число 42 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так. Чтобы отношение первого числа ко второму было равно 3:4, а произведение всех трех чисел было наибольшим.

Чтобы представить число 42 в виде суммы трех положительных слагаемых \( a \), \( b \) и \( c \), где отношение первого числа ко второму равно \( \frac{3}{4} \), необходимо выполнить следующие шаги.

1. Обозначим \( a = 3k \) и \( b = 4k \) для некоторого положительного числа \( k \). Слагаемое \( c \) будет равно \( 42 - a - b \).

   Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ c = 42 - 3k - 4k = 42 - 7k \]

2. Теперь у нас есть выражения для \( a \), \( b \) и \( c \): \[ a = 3k, \quad b = 4k, \quad c = 42 - 7k \]

3. Чтобы найти, при каком \( k \) произведение \( P = a \cdot b \cdot c \) будет максимальным, выразим произведение: \[ P = (3k) \cdot (4k) \cdot (42 - 7k) = 12k^2(42 - 7k) \]

   Раскроем скобки: \[ P = 504k^2 - 84k^3 \]

4. Теперь найдем производную \( P \) по \( k \) и приравняем к нулю для нахождения критических точек: \[ P' = 1008k - 252k^2 \] Приравняем к нулю и упростим: \[ 0 = 252k(4 - k) \] Это равенство дает \( k = 0 \) или \( k = 4 \).

5. Проверим, что \( k = 4 \) подходит для нашей задачи. Подставим его в выражения для \( a \), \( b \) и \( c \): \[ a = 3 \cdot 4 = 12, \quad b = 4 \cdot 4 = 16, \quad c = 42 - 7 \cdot 4 = 42 - 28 = 14 \]

6. Итак, мы получили: \[ a = 12, \quad b = 16, \quad c = 14 \]

7. Теперь найдем произведение: \[ P = 12 \cdot 16 \cdot 14 \]

8. Произведение \( P \) будет максимальным при заданных условиях, и в данном случае слагаемые \( 12 \), \( 16 \) и \( 14 \) удовлетворяют всем условиям.

Таким образом, нужные числа, сумма которых равна 42, а отношение первого ко второму равно 3:4: \[ 12 + 16 + 14 = 42 \]