|3x+1|-|x-4|=2x-3

Чтобы решить уравнение |3x + 1| - |x - 4| = 2x - 3, начнем с определения случаев для абсолютных значений. У нас есть два абсолютных выражения, и нам нужно учесть различные условия для их значений.

1. Случай 1: \(3x + 1 \geq 0\) и \(x - 4 \geq 0\):

   • Это означает, что \(x \geq -\frac{1}{3}\) и \(x \geq 4\). Следовательно, для данного случая необходимо учитывать \(x \geq 4\).
   • Упрощаем уравнение: \(3x + 1 - (x - 4) = 2x - 3\).
   • Получаем: \(3x + 1 - x + 4 = 2x - 3\).
   • \(2x + 5 = 2x - 3\).
   • После упрощения: \(5 = -3\). Это неверно, значит, данный случай не дает решений.

2. Случай 2: \(3x + 1 \geq 0\) и \(x - 4 < 0\):

   • Это значит, что \(x \geq -\frac{1}{3}\) и \(x < 4\). Следовательно, здесь \( -\frac{1}{3} \leq x < 4\).
   • Упрощаем уравнение: \(3x + 1 - (-(x - 4)) = 2x - 3\).
   • Получаем: \(3x + 1 + x - 4 = 2x - 3\).
   • Упрощаем: \(4x - 3 = 2x - 3\).
   • После упрощения: \(2x = 0\) или \(x = 0\). Это решение попадает в наш диапазон \( -\frac{1}{3} \leq 0 < 4\).

3. Случай 3: \(3x + 1 < 0\) и \(x - 4 < 0\):

   • Здесь \(3x + 1 < 0\) означает \(x < -\frac{1}{3}\) и \(x < 4\). Следовательно, данный случай предусмотрен для \(x < -\frac{1}{3}\).
   • Упрощаем уравнение: \(- (3x + 1) - (-(x - 4)) = 2x - 3\).
   • Получаем: \(-3x - 1 + x - 4 = 2x - 3\).
   • Упрощаем: \(-2x - 5 = 2x - 3\).
   • После упрощения: \(-5 + 3 = 2x + 2x\) или \(-2 = 4x\), тогда \(x = -\frac{1}{2}\). Это решение подходит под значение \(x < -\frac{1}{3}\).

Теперь у нас есть два решения: \(x = 0\) и \(x = -\frac{1}{2}\).

Ответ: Решения уравнения |3x + 1| - |x - 4| = 2x - 3: \(x = 0\) и \(x = -\frac{1}{2}\).