АС=4, угол ВАС=75°, <АВС=60° найти АВ

Для решения задачи будем использовать закон синусов.

Дано:

• \( AC = 4 \)
• \( \angle BAC = 75^\circ \)
• \( \angle ABC = 60^\circ \)

Сначала найдем угол \( \angle ACB \): \[ \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ. \]

Теперь применим закон синусов, который гласит, что отношение стороны к синусу противоположного угла равно отношению другой стороны к синусу ее противоположного угла.

Согласно закону синусов: \[ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}. \]

Подставим известные значения: \[ \frac{AB}{\sin(45^\circ)} = \frac{4}{\sin(60^\circ)}. \]

Значения синусов: \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь подставим эти значения: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]

Упростим правую часть: \[ \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}. \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}}. \]

Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ AB = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. \]

Преобразуем: \[ AB = \frac{4\sqrt{6}}{6} \quad \text{(умножив числитель и знаменатель на }\sqrt{3}\text{)}. \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( \frac{4\sqrt{6}}{6} \), или в более удобной форме: \[ AB \approx 1.633. \]

Ответ: \( AB \approx 1.633 \).