Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: ⅓,1/9, 1/27

Чтобы доказать, что данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, давайте внимательно рассмотрим её элементы. Данная прогрессия имеет первый член \( a = \frac{1}{3} \) и общий множитель \( q = \frac{1}{3} \).

Геометрическая прогрессия определяется как последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на фиксированный множитель \( q \). В нашем случае:

• Первый член: \( a_1 = \frac{1}{3} \)
• Второй член: \( a_2 = a_1 \cdot q = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)
• Третий член: \( a_3 = a_2 \cdot q = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \)

Каждый последующий член этой прогрессии по сравнению с предыдущим действительно меньше. Теперь проверим, что происходит с членами, когда мы поднимаем их в бесконечность.

Формула \( n \)-го члена геометрической прогрессии имеет вид: \[ a_n = a \cdot q^{n-1} \]

Для нашей прогрессии это будет: \[ a_n = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{3^n} \]

Как видно, когда \( n \) становится все больше, значения \( a_n \) стремятся к нулю: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} = 0. \]

Это значит, что члены прогрессии бесконечно убывают, так как они всегда остаются положительными и при этом уменьшаются в своем значении по мере увеличения \( n \).

Таким образом, мы можем сказать, что геометрическая прогрессия с первым членом \( \frac{1}{3} \) и множителем \( \frac{1}{3} \) является бесконечно убывающей.