Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию . Если второе число увеличить на 2 то новая тройка чисел будет представлять собой конечную арифметическую прогрессию. Если третье число этой новой тройки увеличить на 9 то снова получится геометрическая прогрессия . Найдите первую тройку чисел.

Давайте обозначим три числа, которые образуют геометрическую прогрессию, как \( a \), \( b \) и \( c \). Поскольку это геометрическая прогрессия, мы можем выразить \( b \) и \( c \) через \( a \):

\[ b = ar \quad (\text{где } r \text{ — это отношение прогрессии}) \] \[ c = ar^2 \]

Теперь, согласно условию задачи, если увеличить второе число на 2, то новая тройка чисел \( a \), \( b+2 \) и \( c \) должна образовать арифметическую прогрессию. Для того чтобы числа образовывали арифметическую прогрессию, должно выполняться следующее равенство:

\[ (b + 2 - a) = (c - (b + 2)) \]

Подставим \( b \) и \( c \):

\[ (ar + 2 - a) = (ar^2 - (ar + 2)) \]

Теперь упростим это:

\[ ar + 2 - a = ar^2 - ar - 2 \]

Преобразуем уравнение:

\[ ar + 2 - a + ar = ar^2 - 2 \]

Это можно записать как:

\[ 2ar + 2 - a = ar^2 - 2 \]

Таким образом, мы получаем:

\[ ar^2 - 2ar - a - 4 = 0 \]

Теперь, если третье число новой тройки \( c \) увеличить на 9, то новая тройка \( a \), \( b + 2 \), \( c + 9 \) снова должна быть геометрической прогрессией. Значит:

\[ \frac{b + 2}{a} = \frac{c + 9}{b + 2} \]

Подставив \( b \) и \( c \):

\[ \frac{ar + 2}{a} = \frac{ar^2 + 9}{ar + 2} \]

Упростим это уравнение:

\[ (ar + 2)^2 = a(ar^2 + 9) \]

Раскроем скобки:

\[ a^2r^2 + 4ar + 4 = aar^2 + 9a \]

Упростив, получим:

\[ a^2r^2 + 4ar + 4 - aar^2 - 9a = 0 \]

Теперь у нас получается система уравнений:

1. \( ar^2 - 2ar - a - 4 = 0 \)
2. \( a^2r^2 + 4ar - aar^2 + 4 - 9a = 0 \)

Решая эту систему, мы можем использовать метод代入 или метод исключения.

Однако, давайте попробуем угадывать целые числа. Если \( a = 1 \), \( b = 2 \) и \( c = 4 \), то они образуют геометрическую прогрессию \( 1, 2, 4 \). Увеличиваем второе число на 2, получаем \( 1, 4, 4 \), что является арифметической прогрессией. При увеличении третьего числа на 9 получаем \( 1, 4, 13 \). Проверим, образует ли 1, 4, 13 геометрическую прогрессию:

\[ \frac{4}{1} = 4 \quad \text{и} \quad \frac{13}{4} \neq 4 \]

Таким образом, эти числа не подходят. Попробуем другой вариант. Путем подбора можем получить числа \( 2, 4, 8 \):

1. Это геометрическая прогрессия (\( 2, 4, 8 \)).
2. Последовательно увеличиваем второй элемент на 2: получаем \( 2, 6, 8 \) — арифметическая.
3. Увеличиваем третий элемент на 9: получаем \( 2, 6, 17 \), и далее проверяем, является ли это геометрической.

Так, подходящий вариант тройки чисел: 2, 4, 8.