1) Даны множества А = {1,2,3,4,5) и В = {6,7,8,9,10,11,12}. Между элементами этих множеств определено отношение R - «а делит b (без остатка), аЕА, b». Записать отношение R с помощью перечисления всех пар элементов, находящихся в этом отношении. 2) На множестве А={3,5,7,9,11} задано отношение R-«a2b+2». Записать отношение R с помощью перечисления всех пар элементов, находящихся в этом отношении. 3) Определить, обладают ли следующие отношения свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности: a) «а проживает в одном городе с b»; б) «а и b - друзья»; в) «а имеет тех же родителей, что и b»; г) «а не выше b»; д) «число а без остатка делится на число b, где а, b є {1,2,3,4,5,6)»; е) «а едет быстрее b». Обосновать ответ. 4) На множестве А={a,b,c, d) задано отношение R={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,b), (b,c), (b, d), (C, c), (c,d), (d, d)}. Какими свойствами оно обладает? Обосновать ответ

1. Для задания отношения \( R \) между множествами \( A \) и \( B \), мы должны найти все пары \( (a, b) \), где \( a \in A \), \( b \in B \) и \( a \) делит \( b \) без остатка.

Множество \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) и множество \( B = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} \).

Теперь проверим, какие числа из \( A \) делят числа из \( B \):

• 1 делит все числа, так что \( (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10), (1,11), (1,12) \)
• 2 делит 6, 8, 10, 12, поэтому \( (2,6), (2,8), (2,10), (2,12) \)
• 3 делит 6, 9, 12, поэтому \( (3,6), (3,9), (3,12) \)
• 4 делит 8, поэтому \( (4,8) \)
• 5 делит 10, поэтому \( (5,10) \)

Записываем отношение \( R \):

\[ R = \{(1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (1, 11), (1, 12), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (2, 12), (3, 6), (3, 9), (3, 12), (4, 8), (5, 10)\} \]

2. Определим отношение \( R \) на множестве \( A = \{3, 5, 7, 9, 11\} \) по правилу «\( a^2 < b \)».

Проверим каждую пару:

• для \( a = 3: 3^2 = 9, \) \( b > 9 \) — нет значений \( b \)
• для \( a = 5: 5^2 = 25, \) \( b > 25 \) — нет значений \( b \)
• для \( a = 7: 7^2 = 49, \) \( b > 49 \) — нет значений \( b \)
• для \( a = 9: 9^2 = 81, \) \( b > 81 \) — нет значений \( b \)
• для \( a = 11: 11^2 = 121, \) \( b > 121 \) — нет значений \( b \)

Таким образом, множество пар \( R \) будет пустым:

\[ R = \emptyset \]

3. Проверим свойства для каждого отношения:

a) «а проживает в одном городе с b»:

• Рефлексивность: да (каждый живет в своем городе).
• Симметричность: да (если \( a \) живет с \( b \), то и \( b \) живет с \( a \)).
• Транзитивность: нет (можно жить в одном городе с \( a \) и \( b \), но \( a \) и \( b \) могут не жить вместе).

б) «а и b - друзья»:

• Рефлексивность: нет (никто не может быть своим другом).
• Симметричность: да (если \( a \) дружит с \( b \), то и \( b \) дружит с \( a \)).
• Транзитивность: нет (друзья не переходят автоматически к друзьям друг друга).

в) «а имеет тех же родителей, что и b»:

• Рефлексивность: да (у каждого свои родители).
• Симметричность: да (если у \( a \) и \( b \) одни и те же родители, то это верно для обеих сторон).
• Транзитивность: да (если \( a \) и \( b \) имеют одних родителей, и \( b \) и \( c \) имеют одних родителей, то \( a \) и \( c \) также имеют).

г) «а не выше b»:

• Рефлексивность: да (каждый не выше себя).
• Симметричность: нет (если \( a \) не выше \( b \), это не означает, что \( b \) не выше \( a \)).
• Транзитивность: да (если \( a \) не выше \( b \), и \( b \) не выше \( c \), то \( a \) не выше \( c \)).

д) «число a без остатка делится на число b»:

• Рефлексивность: да (любое число делится на себя).
• Симметричность: нет (если \( a \) делится на \( b \), это не значит, что \( b \) делится на \( a \)).
• Транзитивность: да (если \( a \) делится на \( b \), и \( b \) делится на \( c \), то \( a \) делится на \( c \)).

е) «а едет быстрее b»:

• Рефлексивность: нет (никто не может ехать быстрее самого себя).
• Симметричность: нет (если \( a \) едет быстрее \( b \), это не значит, что \( b \) едет быстрее \( a \)).
• Транзитивность: да (если \( a \) едет быстрее \( b \), и \( b \) быстрее \( c \), то \( a \) быстрее \( c \)).

4. Рассмотрим отношение \( R = \{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,b), (b,c), (b,d), (c,c), (c,d), (d,d)\} \) на множестве \( A = \{a,b,c,d\} \).

• Рефлексивность: да, поскольку все элементы \( a, b, c, d \) имеют свои пары \( (x,x) \) в отношении.
• Симметричность: нет, так как есть пара \( (a,b) \), но \( (b,a) \) отсутствует.
• Транзитивность: да. Если \( (x,y) \) и \( (y,z) \) имеются в отношении, то мы можем найти соответствующие пары. Например, \( (a,b) \) и \( (b,c) \) дают \( (a,c) \) и так далее.

Таким образом, отношение \( R \) является рефлексивным и транзитивным, но не симметричным.