y=√|7-2x|-x найдите область определения функции
Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{|7 - 2x|} - x \), необходимо определить, при каких значениях \( x \) выражение под корнем не становится отрицательным, так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.
Условие под корнем: \[ |7 - 2x| \geq 0 \] Это условие выполняется для всех \( x \), так как модуль всегда неотрицателен.
Дополнительное условие: Поскольку функция включает корень, нам нужно, чтобы: \[ \sqrt{|7 - 2x|} \text{ было определено.} \] Это условие также выполняется для всех \( x \).
Условие для выражения \( \sqrt{|7 - 2x|} - x \): Для того чтобы функция была определена, необходимо, чтобы результат выражения под корнем был больше или равен \( x \): \[ \sqrt{|7 - 2x|} \geq x. \]
Решение неравенства: Теперь решим неравенство \( \sqrt{|7 - 2x|} \geq x \).
Начнем с двух случаев из-за модуля:
Случай 1: \( 7 - 2x \geq 0 \) (то есть \( x \leq \frac{7}{2} \)) \[ \sqrt{7 - 2x} \geq x \implies 7 - 2x \geq x^2 \implies x^2 + 2x - 7 \leq 0. \] Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 7 = 0 \) по формуле: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}. \] Это дает два значения \( x_1 = -1 - 2\sqrt{2} \) и \( x_2 = -1 + 2\sqrt{2} \). Учитывая, что \( -1 - 2\sqrt{2} < -1 + 2\sqrt{2} \), находим интервал: \[ -1 - 2\sqrt{2} \leq x \leq -1 + 2\sqrt{2}, \; x \leq \frac{7}{2}. \]
Случай 2: \( 7 - 2x < 0 \) (то есть \( x > \frac{7}{2} \)) Здесь \( |7 - 2x| = 2x - 7 \): \[ \sqrt{2x - 7} \geq x. \] Аналогичным образом решаем: \[ 2x - 7 \geq x^2 \implies x^2 - 2x + 7 \leq 0. \] Этот дискриминант отрицательны, что означает, что неравенство выполняется для всех \( x \).
Объединение интервалов: Таким образом, область определения функции \( y = \sqrt{|7 - 2x|} - x \) выглядит следующим образом: \[ x \in \left[-1 - 2\sqrt{2}, -1 + 2\sqrt{2}\right] \cup \left[\frac{7}{2}, \infty\right). \]
Таким образом, окончательный ответ: область определения функции — это интервал \( \left[-1 - 2\sqrt{2}, -1 + 2\sqrt{2}\right] \) и все \( x \), больше \( \frac{7}{2} \).
