При каких значениях параметра a уравнение x²+4x+2a|x+2|+a² = 0 имеет ровно три различных решения

Чтобы определить, при каких значениях параметра \( a \) уравнение \( x^2 + 4x + 2a|x + 2| + a^2 = 0 \) имеет ровно три различных решения, мы начнем анализ с учетом разных случаев.

Уравнение включает модуль, что означает, что мы можем рассмотреть два случая: когда \( x + 2 \geq 0 \) (или \( x \geq -2 \)) и когда \( x + 2 < 0 \) (или \( x < -2 \)).

Случай 1: \( x + 2 \geq 0 \) (то есть \( x \geq -2 \))

В этом случае \( |x + 2| = x + 2 \), и уравнение принимает вид:

\[ x^2 + 4x + 2a(x + 2) + a^2 = 0. \]

Упростим это уравнение:

\[ x^2 + 4x + 2ax + 4a + a^2 = 0, \] \[ x^2 + (4 + 2a)x + (a^2 + 4a) = 0. \]

Для этого квадратного уравнения число решений зависит от дискриминанта:

\[ D_1 = (4 + 2a)^2 - 4(1)(a^2 + 4a). \]

Выразим дискриминант:

\[ D_1 = (4 + 2a)^2 - 4(a^2 + 4a) = 16 + 16a + 4a^2 - 4a^2 - 16a = 16 - 4a. \]

Для того чтобы иметь два различных решения, должно выполняться: \( D_1 > 0 \), что дает условие:

\[ 16 - 4a > 0 \implies a < 4. \]

Случай 2: \( x + 2 < 0 \) (то есть \( x < -2 \))

В этом случае \( |x + 2| = -(x + 2) \), и уравнение становится:

\[ x^2 + 4x + 2a(-x - 2) + a^2 = 0, \] \[ x^2 + 4x - 2ax - 4a + a^2 = 0, \] \[ x^2 + (4 - 2a)x + (a^2 - 4a) = 0. \]

Аналогично найдем дискриминант:

\[ D_2 = (4 - 2a)^2 - 4(1)(a^2 - 4a). \]

Упростим:

\[ D_2 = (4 - 2a)^2 - 4(a^2 - 4a) = 16 - 16a + 4a^2 - 4a^2 + 16a = 16 + 4a. \]

Для наличия одного решения (косое касание), должно выполняться: \( D_2 = 0 \):

\[ 16 + 4a = 0 \implies a = -4. \]

Теперь мы имеем два случая:

• \( a < 4 \) для \( D_1 > 0 \) — два решения.
• \( a = -4 \) для \( D_2 = 0 \) — одно решение.

Таким образом, при \( a = -4 \) будет три различных решения (двух из первого случая и одного из второго случая).

Ответ: Уравнение \( x^2 + 4x + 2a|x + 2| + a^2 = 0 \) имеет ровно три различных решения при \( a = -4 \).