3. Минутная стрелка часов на Спасской башне Кремля имеет длину 3,5 м. Определите модуль перемещения и путь, которые совершит конец этой стрелки: а) за 30 мин; б) 15 мин; в) 10 мин. 1. Тело свободно падает с высоты 80 м без начальной скорости. Какой путь проходит тело в последнюю секунду падения? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Чтобы решить задачу, связанную с минутной стрелкой часов на Спасской башне Кремля, начнем с определения необходимых величин.

Дано:

• Длина минутной стрелки \( L = 3,5 \) м.
• Круговая длина пути (длина окружности) для полного оборота \( C \) меньше формулы \( C = 2\pi R \):

1. а) За 30 минут:

   • За 30 минут минутная стрелка делает пол-оборота (180 градусов).
   • Путь \( S \) за 30 минут будет равен половине длины окружности:

   \[ S_{30} = \frac{1}{2} \times C = \frac{1}{2} \times 2\pi \times 3,5 = \pi \times 3,5 \approx 10,99 \text{ м} \]

   • Модуль перемещения (конечная точка относительно начальной) будет равен длине радиуса, то есть \( L = 3,5 \) м.

2. б) За 15 минут:

   • За 15 минут минутная стрелка делает четверть оборота (90 градусов).
   • Путь \( S \) за 15 минут:

   \[ S_{15} = \frac{1}{4} \times C = \frac{1}{4} \times 2\pi \times 3,5 = \frac{\pi \times 3,5}{2} \approx 5,49 \text{ м} \]

   • Модуль перемещения в этом случае будет равен длине диагонали квадрата, образованного начальной и конечной точками, то есть \( L \), что равно:

   \[ R \sqrt{2} = 3,5\sqrt{2} \approx 4,95 \text{ м} \]

3. в) За 10 минут:

   • За 10 минут минутная стрелка делает одну шестую оборота (60 градусов).
   • Путь \( S \) за 10 минут:

   \[ S_{10} = \frac{1}{6} \times C = \frac{1}{6} \times 2\pi \times 3,5 \approx 3,67 \text{ м} \]

   • Модуль перемещения можно определить как расстояние от начальной позиции до конечной, используя тригонометрию (находим координаты конца стрелки):

   \[ x = 3,5 \cos(60^\circ) = 3,5 \cdot 0,5 = 1,75 \text{ м} \]

   \[ y = 3,5 \sin(60^\circ) \approx 3,5 \cdot 0,866 \approx 3,03 \text{ м} \]

   Расстояние от начала до конца будет равно:

   \[ \sqrt{x^2 + y^2} \approx \sqrt{1,75^2 + 3,03^2} \approx \sqrt{3,0625 + 9,1809} \approx \sqrt{12,2434} \approx 3,49 \text{ м} \]

Результаты:

• а) Путь: около 10,99 м; перемещение: 3,5 м
• б) Путь: около 5,49 м; перемещение: около 4,95 м
• в) Путь: около 3,67 м; перемещение: около 3,49 м

Теперь перейдем ко второй задаче о свободном падении тела.

Дано:

• Высота \( h = 80 \) м.
• Ускорение свободного падения \( g = 9,8 \text{ м/с}^2 \).

Нам необходимо найти путь, который тело проходит в последнюю секунду.

1. Определим время падения. Используем формулу:

\[ h = \frac{g t^2}{2} \implies t^2 = \frac{2h}{g} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 80}{9,8}} \approx \sqrt{16,33} \approx 4,03 \text{ с} \]

2. Теперь рассчитаем путь за последние секунды:

   • Путь, пройденный телом за \( t-1 = 3,03 \) с:

\[ h_1 = \frac{g (t-1)^2}{2} = \frac{9,8 \cdot (3,03)^2}{2} \approx \frac{9,8 \cdot 9,18}{2} \approx 44,9 \text{ м} \]

• Общий путь за \( t \):

\[ h_0 = \frac{g t^2}{2} \approx \frac{9,8 \cdot (4,03)^2}{2} \approx \frac{9,8 \cdot 16,25}{2} \approx 79,8 \text{ м} \]

3. Наконец, путь в последнюю секунду:

\[ S = h_0 - h_1 \approx 79,8 - 44,9 \approx 34,9 \text{ м} \]

Таким образом, путь, пройденный телом в последнюю секунду падения, составляет около 34,9 м.