Реши задачу. В равнобедренном треугольнике MNK угол при основании равен 75°. Какова длина боковой стороны, если площадь треугольника составляет 25 см2 ? Вырази ответ в см.
Чтобы решить задачу, давайте используем формулу для площади треугольника и некоторые свойства равнобедренного треугольника.
Дано:
- Угол при основании \( \alpha = 75° \).
- Площадь треугольника \( S = 25 \, \text{см}^2 \).
Найдем высоту \( h \): В равнобедренном треугольнике площадь можно выразить как: \[ S = \frac{a \cdot h}{2} \] где \( a \) – основание, а \( h \) – высота треугольника, опущенная на это основание.
Но сначала найдем высоту через боковую сторону \( b \).
Высота и боковая сторона: В равнобедренном треугольнике высота \( h \) делит основание пополам и образует два прямоугольных треугольника. Используем тригонометрию: \[ h = b \cdot \sin(75°) \] где \( b \) – длина боковой стороны.
Теперь подставим это в формулу площади: \[ S = \frac{a \cdot (b \cdot \sin(75°))}{2} \]
Сторона основания: Под основанием мы понимаем, что оно представляется как \( a = 2 \cdot b \cdot \cos(75°) \). Таким образом: \[ S = \frac{(2b \cos(75°)) \cdot (b \sin(75°))}{2} = b^2 \cdot \cos(75°) \cdot \sin(75°) \]
Подставим данные в уравнение: Мы знаем, что \( S = 25 \) см², поэтому: \[ 25 = b^2 \cdot \cos(75°) \cdot \sin(75°) \]
\( \cos(75°) \) и \( \sin(75°) \) можно найти, используя тригонометрические значения:
- \( \cos(75°) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)
- \( \sin(75°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
Вычисляем: Тогда: \[ \cos(75°) \cdot \sin(75°) = \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]
Следовательно, мы имеем: \[ 25 = b^2 \cdot \frac{1}{4} \]
Умножив обе стороны на 4, получаем: \[ 100 = b^2 \]
Таким образом: \[ b = 10 \, \text{см} \]
Итак, длина боковой стороны треугольника \( MNK \) равна \( 10 \, \text{см} \).
