Давайте разберём ваши примеры по написанию слов с предлогами и уточним, когда использовать слитное, дефисное или раздельное написание.
Действуем (по)нашему плану - пишем «по нашему», потому что предлог «по» требует отдельного написания с существительным.
(с) начала осени шли дожди - здесь «с начала» также пишется раздельно, так как предлог «с» требует предшествующее слово в предложном падеже.
(с)начала шёл быстро, а (за)тем замедлил шаг - «сначала» пишется слитно, так как это наречие, где «с» является частью слова. «Затем» также пишется слитно, это наречие.
(по)вчерашнему прогнозу погоды - «по вчерашнему» пишется раздельно, т.к. предлог «по» требует отдельного написания с прилагательным.
советовать (по)дружески - пишем «по-дружески» с дефисом, так как это наречие образовано от прилагательного.
находится (за)тем поворотом - здесь «за тем» пишется раздельно, т.к. предлог «за» требует отдельного написания.
(по)зимнему холодно - пишем «по-зимнему» с дефисом, так как это наречие, образованное от прилагательного.
нырнуть (в)глубь - пишем раздельно «в глубь», т.к. «в» выступает как предлог.
виднеться (в)дали моря - «в дали» также пишется раздельно, так как это предлог «в» с существительным.
гулять (по)долго - здесь пишем «по-дольше» с дефисом, поскольку это краткая форма наречия.
оборка (по)низу платья - пишем раздельно «по нису», так как «по» требует отдельного написания с существительным.
хитёр (по)лисьи - пишем «по-лисьи» с дефисом, так как это наречие, образованное от прилагательного.
Теперь продолжаем:
Болтать (без)умолку - «безумолку» пишется слитно, как единое наречное слово.
смотреть (в)упор - «в упор» пишется раздельно.
сидеть (в)(пол)оборота - «в пол-оборота» с дефисом, так как «пол» требует дефисного написания.
есть (в)сухомятку - «в сухомятку» пишется раздельно, так как это предлог «в» с существительным.
присесть (на)корточки - «на корточки» пишется раздельно, это предлог и существительное.
говорить (под)руку - «под руку» пишется раздельно, это предлог с существительным.
сгорело (до)тла - «до тла» пишется раздельно, это предлог с существительным.
поймать (на)лету - «на лету» пишется раздельно, это предлог с существительным.
перевязать (крест)(на)крест - «на крест» пишется раздельно, но «крест-на-крест» пишется слитно как фиксированное выражение.
беседовать (с)глазу(на)глаз - «с глазу на глаз» пишется раздельно.
свернуть (в)бок - «в бок» раздельно, предлог с существительным.
сделать (за)нов - пишется раздельно «за ново», так как «за» предлог с существительным.
известно (из)давн - «издавна» пишется слитно, так как это наречие.
распол…гаться (с)лев - «с лев» раздельно.
идти (по)двое - «по двое» раздельно, предлог с числительным.
разделить (на)трое - «на трое» раздельно, предлог с числительным.
сделать (кое)как - «кое-как» пишется с дефисом, так как это наречие.
Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять правила написания! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
