7x²-3x-4>0

Чтобы решить неравенство \( 7x^2 - 3x - 4 > 0 \), следует сначала найти корни соответствующего уравнения \( 7x^2 - 3x - 4 = 0 \). Это можно сделать с помощью дискриминанта.

Дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 7 \), \( b = -3 \), \( c = -4 \).

Подставим значения: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121 \]

Так как дискриминант положителен (\( D > 0 \)), уравнение имеет два различных корня. Находим корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим данные: \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{3 \pm 11}{14} \]

Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{14}{14} = 1, \quad x_2 = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{4}{7} \).

Следующий шаг - определить интервалы, в которых неравенство \( 7x^2 - 3x - 4 > 0 \) выполняется. Для этого рассмотрим три интервала, определяемых корнями:

1. \( (-\infty, -\frac{4}{7}) \)
2. \( (-\frac{4}{7}, 1) \)
3. \( (1, +\infty) \)

Теперь проверим знак выражения в каждом из интервалов:

1. Для интервала \( (-\infty, -\frac{4}{7}) \), например, подставим \( x = -1 \): \[ 7(-1)^2 - 3(-1) - 4 = 7 + 3 - 4 = 6 > 0 \] Этот интервал удовлетворяет неравенству.

2. Для интервала \( (-\frac{4}{7}, 1) \), например, подставим \( x = 0 \): \[ 7(0)^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0 \] Этот интервал не удовлетворяет неравенству.

3. Для интервала \( (1, +\infty) \), например, подставим \( x = 2 \): \[ 7(2)^2 - 3(2) - 4 = 28 - 6 - 4 = 18 > 0 \] Этот интервал удовлетворяет неравенству.

Теперь мы можем сделать окончательный вывод:

Неравенство \( 7x^2 - 3x - 4 > 0 \) выполняется в следующих интервалах: \[ (-\infty, -\frac{4}{7}) \cup (1, +\infty) \]

Таким образом, решение данного неравенства в виде интервалов таково.