7x²-3x-4>0

Чтобы решить неравенство \(7x^2 - 3x - 4 > 0\), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(7x^2 - 3x - 4 = 0\) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае \(a = 7\), \(b = -3\), \(c = -4\). Подставим значения в формулу:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121 \]

Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} \]

Подставляем значения:

\[ x_1 = \frac{{3 + \sqrt{121}}}{{2 \cdot 7}} = \frac{{3 + 11}}{14} = \frac{14}{14} = 1 \] \[ x_2 = \frac{{3 - \sqrt{121}}}{{2 \cdot 7}} = \frac{{3 - 11}}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \]

Таким образом, корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{4}{7}\).

Теперь мы можем построить числовую прямую и определить знаки многочлена \(7x^2 - 3x - 4\) на интервалах, разделенных корнями:

1. \( x < -\frac{4}{7} \)
2. \( -\frac{4}{7} < x < 1 \)
3. \( x > 1 \)

Для проверки знака многочлена выберем тестовые точки из каждого интервала:

1. Для \(x = -1\) (при \(x < -\frac{4}{7}\)): \[ 7(-1)^2 - 3(-1) - 4 = 7 + 3 - 4 = 6 > 0 \]

2. Для \(x = 0\) (при \(-\frac{4}{7} < x < 1\)): \[ 7(0)^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0 \]

3. Для \(x = 2\) (при \(x > 1\)): \[ 7(2)^2 - 3(2) - 4 = 28 - 6 - 4 = 18 > 0 \]

Из этого анализа мы видим, что многочлен положителен на интервалах:

1. \( (-\infty, -\frac{4}{7}) \)
2. \( (1, +\infty) \)

Следовательно, неравенство \(7x^2 - 3x - 4 > 0\) верно для значений:

\[ x \in (-\infty, -\frac{4}{7}) \cup (1, +\infty) \]

Это и есть решение данного неравенства. Если остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!