Найдите целочисленные решения системы уравнений х²+ху=-3 у-3х=7
Для решения системы уравнений:
- \(x^2 + xy = -3\)
- \(y - 3x = 7\)
начнем с упрощения второго уравнения. Мы можем выразить \(y\) через \(x\):
\[y = 3x + 7\]
Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:
\[x^2 + x(3x + 7) = -3\]
Раскроем скобки:
\[x^2 + 3x^2 + 7x = -3\]
Объединим подобные слагаемые:
\[4x^2 + 7x + 3 = 0\]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = 4\), \(b = 7\) и \(c = 3\). Подставим значения:
\[D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1\]
Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Находим корни по формуле:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставим наши значения:
\[x = \frac{-7 \pm 1}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm 1}{8}\]
Это дает нам два значения для \(x\):
- \(x_1 = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\)
- \(x_2 = \frac{-8}{8} = -1\)
Теперь мы можем найти соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\):
- Для \(x = -1\):
\[y = 3(-1) + 7 = -3 + 7 = 4\]
- Для \(x = -\frac{3}{4}\):
\[y = 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 7 = -\frac{9}{4} + 7 = -\frac{9}{4} + \frac{28}{4} = \frac{19}{4}\]
Теперь у нас есть наборы решений:
- \( (x, y) = (-1, 4) \)
- \( (x, y) = \left(-\frac{3}{4}, \frac{19}{4}\right) \)
Однако, целочисленным решением является только \( (x, y) = (-1, 4) \).
Таким образом, целочисленное решение данной системы уравнений:
\((x, y) = (-1, 4)\).
