Найдите целочисленные решения системы уравнений х²-ху=-1 у+4х=6
Чтобы найти целочисленные решения системы уравнений
- \( x^2 - xy = -1 \)
- \( y + 4x = 6 \)
начнем со второго уравнения. Мы можем выразить \( y \) через \( x \):
\[ y = 6 - 4x \]
Теперь подставим это значение \( y \) в первое уравнение:
\[ x^2 - x(6 - 4x) = -1 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 - 6x + 4x^2 = -1 \]
Упростим уравнение:
\[ 5x^2 - 6x + 1 = 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 \]
Дискриминант положителен, следовательно, у уравнения есть два различных корня:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{10} \]
Находим корни:
\[ x_1 = \frac{10}{10} = 1 \] \[ x_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
Поскольку нас интересуют целочисленные решения, рассмотрим только \( x_1 = 1 \).
Теперь подставим \( x = 1 \) обратно в уравнение для \( y \):
\[ y = 6 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2 \]
Таким образом, одно целочисленное решение системы уравнений:
\[ (x, y) = (1, 2) \]
Теперь проверим, удовлетворяет ли данная пара уравнению \( x^2 - xy = -1 \):
\[ 1^2 - 1 \cdot 2 = 1 - 2 = -1 \]
Решение верно.
Также у нас был второй корень \( x_2 = \frac{1}{5} \), но он не является целым числом, поэтому целочисленные решения системы уравнений представлены только парой \( (1, 2) \).
