Решите неравенство (х+1)(х+2)^2/х-3≤0
Чтобы решить неравенство \((x+1)(x+2)^2/(x-3) \leq 0\), следуем нескольким шагам.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нули числителя (где \((x+1)(x+2)^2 = 0\)):
- \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
- \((x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2\) (дважды, так как квадрат)
Ноль знаменателя:
- \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) (знак меняется в этой точке)
Определяем интервалы.
- У нас есть ключевые точки: \(-2\), \(-1\) и \(3\). Эти точки делят числовую прямую на интервалы:
- \((-\infty, -2)\)
- \((-2, -1)\)
- \((-1, 3)\)
- \((3, +\infty)\)
- У нас есть ключевые точки: \(-2\), \(-1\) и \(3\). Эти точки делят числовую прямую на интервалы:
Используем тестовые точки для каждого интервала. Проверяем знак выражения в каждом из интервалов:
Для интервала \((-\infty, -2)\), например \(x = -3\): \[ \frac{(-3+1)(-3+2)^2}{-3-3} = \frac{(-2)(1)^2}{-6} = \frac{-2}{-6} > 0 \]
Для интервала \((-2, -1)\), например \(x = -1.5\): \[ \frac{(-1.5+1)(-1.5+2)^2}{-1.5-3} = \frac{(-0.5)(0.5)^2}{-4.5} = \frac{-0.125}{-4.5} > 0 \]
Для интервала \((-1, 3)\), например \(x = 0\): \[ \frac{(0+1)(0+2)^2}{0-3} = \frac{(1)(4)}{-3} = \frac{4}{-3} < 0 \]
Для интервала \((3, +\infty)\), например \(x = 4\): \[ \frac{(4+1)(4+2)^2}{4-3} = \frac{(5)(36)}{1} = 180 > 0 \]
Составляем вывод по знакам. Мы ищем, где \((x+1)(x+2)^2/(x-3) \leq 0\), что происходит на интервале \((-1, 3)\).
Учета нулей и точек разрыва.
- В точках \(x = -2\) и \(x = -1\) числитель равен нулю, следовательно, \(\leq 0\).
- В точке \(x = 3\) функция не определена, поэтому мы не включаем её.
Таким образом, ответом на неравенство будет: \[ [-2, -1] \cup (-1, 3) \]
Это означает, что решение неравенства включает все значения \(x\) на этом интервале. Если у вас есть вопросы или нужно больше разъяснений, не стесняйтесь обращаться!
