В треугольнике 2 стороны 7 и 12 и угол между ними 60 градусов. Найти 3 сторону и площадь треугольника

Для решения задачи сначала найдем третью сторону треугольника, используя закон косинусов. Закон косинусов гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где:

• \( c \) — третья сторона,
• \( a \) и \( b \) — две известные стороны,
• \( C \) — угол между ними.

В нашем случае:

• \( a = 7 \),
• \( b = 12 \),
• \( C = 60^\circ \).

Подставим значения в формулу:

\[ c^2 = 7^2 + 12^2 - 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ c^2 = 49 + 144 - 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 49 + 144 - 7 \cdot 12 \] \[ c^2 = 49 + 144 - 84 \] \[ c^2 = 109 \]

Теперь возьмем квадратный корень:

\[ c = \sqrt{109} \approx 10.44 \]

Теперь найдем площадь треугольника с помощью формулы:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2}ab\sin(C) \]

Подставим значения:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) \] \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{Площадь} = \frac{7 \cdot 12 \cdot \sqrt{3}}{4} \] \[ \text{Площадь} = \frac{84\sqrt{3}}{4} \] \[ \text{Площадь} = 21\sqrt{3} \approx 36.37 \]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \( \sqrt{109} \approx 10.44 \), а площадь треугольника равна \( 21\sqrt{3} \approx 36.37 \).