Найдите область определения функции f(x)1/√3xx+

Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + x^2}} \), необходимо рассмотреть, при каких значениях \( x \) выражение под корнем определено и больше нуля, так как корень из отрицательного числа и нуля в данном контексте не допускается.

1. Проверим выражение под корнем: \( 3x + x^2 > 0 \). Это неравенство можно переписать в виде \( x^2 + 3x > 0 \).

2. Найдем корни уравнения \( x^2 + 3x = 0 \): Факторизуем: \[ x(x + 3) = 0 \] Отсюда мы получаем корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3 \).

3. Определим знаки на промежутках, заданных корнями: Мы рассматриваем интервалы:

   • \( (-\infty, -3) \)
   • \( (-3, 0) \)
   • \( (0, +\infty) \)

   Теперь подставим тестовые точки в неравенство \( x(x + 3) > 0 \):

   • В интервале \( (-\infty, -3) \) (например, \( x = -4 \)): \( (-4)(-4 + 3) = -4 \cdot -1 > 0 \) (положительно)
   • В интервале \( (-3, 0) \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)(-1 + 3) = -1 \cdot 2 < 0 \) (отрицательно)
   • В интервале \( (0, +\infty) \) (например, \( x = 1 \)): \( 1(1 + 3) = 1 \cdot 4 > 0 \) (положительно)

Поскольку функция под корнем \( 3x + x^2 \) должна быть положительной, получаем, что область определения \( f(x) \) включает интервалы \( (-\infty, -3) \) и \( (0, +\infty) \).

Итак, область определения функции \( f(x) \) можно записать как: \[ D_f = (-\infty, -3) \cup (0, +\infty) \]

Если нужны будут дополнительные уточнения или примеры, не стесняйтесь спрашивать!