Решить методом интервала

Привет! Давай решим это неравенство методом интервалов. У нас есть выражение:

\[ (x^2 - 10x)(x - 49) \leq 0 \]

Первым шагом найдем нули каждого множителя, то есть решим уравнения \(x^2 - 10x = 0\) и \(x - 49 = 0\).

1. \(x^2 - 10x = 0\)

Разложим на множители:

\(x(x - 10) = 0\)

У нас два корня:

\(x = 0\) \(x = 10\)

2. \(x - 49 = 0\)

У нас один корень:

\(x = 49\)

Теперь у нас три точки: \(x = 0\), \(x = 10\) и \(x = 49\). Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: \((- \infty, 0)\), \( (0, 10)\), \( (10, 49)\), и \((49, +\infty)\).

Теперь определим знаки на каждом интервале. Возьмем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в наше неравенство.

1. Интервал \((- \infty, 0)\), возьмем точку \(-1\):

\[ (-1) \cdot (-1 - 10) \cdot (-1 - 49) = (-1) \cdot (-11) \cdot (-50) = 550 > 0 \]

2. Интервал \((0, 10)\), возьмем точку \(5\):

\[ 5 \cdot (5 - 10) \cdot (5 - 49) = 5 \cdot (-5) \cdot (-44) = 1100 > 0 \]

3. Интервал \((10, 49)\), возьмем точку \(20\):

\[ 20 \cdot (20 - 10) \cdot (20 - 49) = 20 \cdot 10 \cdot (-29) = -5800 < 0 \]

4. Интервал \((49, +\infty)\), возьмем точку \(50\):

\[ 50 \cdot (50 - 10) \cdot (50 - 49) = 50 \cdot 40 \cdot 1 = 2000 > 0 \]

Теперь учитываем границы каждого интервала при неравенстве \(\leq 0\).

Таким образом, наше решение:

\((10, 49]\)

Итак, конечный ответ:

\[ 10 < x \leq 49 \]

Надеюсь, это помогло! 😊