На рисунке 45 луч OV является бис-сектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если LUOV = 80°.
Чтобы решить задачу, отметим данные углы:
- Луч OV является биссектрисой угла ZOY, значит угол ZOV равен углу VOY.
- Луч OU является биссектрисой угла XOY, значит угол XOU равен углу UOY.
Обозначим угол ZOY как \( 2a \), тогда угол ZOV и угол VOY равны \( a \).
Поскольку \( LUOV = 80^\circ \), тогда:
\[ \angle ZOU = \angle ZOV + \angle VOU = a + \angle VOU \]
Обозначим угол UOY как \( 2b \), то угол XOU равен \( b \), а угол UOY равен \( b \).
Угол XOY можно записать как сумму углов XOU и UOY:
\[ \angle XOY = \angle XOU + \angle UOY = b + 2b = 3b \]
Таким образом, известный угол ZOU составляет \( 80^\circ \), и поэтому:
\[ 80^\circ = a + b \]
Так как \( \angle XOZ = \angle ZOU + \angle UOY = 80^\circ + b \), подставим \( a = 80^\circ - b \) в выражение для угла XOZ:
\[ \angle XOZ = 80^\circ + b \] с учетом того, что \( a + b = 80^\circ \):
Теперь, сумму всех углов в точке O равным:
\[ 2a + 2b + 3b = 360^\circ \] \[ 2(80^\circ - b) + 2b + 3b = 360^\circ \] \[ 160^\circ + 2b + 3b = 360^\circ \] \[ 160^\circ + 5b = 360^\circ \] \[ 5b = 360^\circ - 160^\circ = 200^\circ \] \[ b = 40^\circ \]
Теперь подставим значение \( b \) обратно и найдём угол XOZ:
\[ \angle XOZ = 80^\circ + b = 80^\circ + 40^\circ = 120^\circ \]
Таким образом, угол \( XOZ \) равен \( 120^\circ \).
