Со стола высотой ℎ = 1,5 м сбрасывают шарик, сообщив ему скорость, равную по модулю 𝜐0= 10 м/с и направленную вниз под углом 60° к горизонту. Найти: а) тангенциальное и нормальное ускорение шари- ка спустя 𝑡= 0,1 с от начала движения; б) на каком расстоянии от точки бросания упадет шарик.

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

Условия задачи

У нас есть шарик, сброшенный с высоты \( h = 1,5 \, \text{м} \). Он имеет начальную скорость \( v_0 = 10 \, \text{м/с} \), направленную вниз под углом \( 60^\circ \) к горизонту. Нам нужно найти:

а) тангенциальное и нормальное ускорения шарика спустя \( t = 0,1 \, \text{с} \) от начала его движения.

б) расстояние, на которое шарик упадет от точки бросания.

Решение

а) Тангенциальное и нормальное ускорение

1. Модуль начальной скорости: Разложим вектор скорости на горизонтальную и вертикальную компоненты.

   • Горизонтальная компонента: \[ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot 0,5 = 5 \, \text{м/с} \]
   • Вертикальная компонента: \[ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8,66 \, \text{м/с} \]

2. Ускорение: На шарик действует ускорение свободного падения \( g = 9,81 \, \text{м/с}^2 \). Это ускорение направлено вниз (по оси y) и отсутствует горизонтальная составляющая ускорения, потому что на шарик не действуют горизонтальные силы.

3. Тангенциальное и нормальное ускорение:

   • Тангенциальное ускорение \( a_t \) обновляется только с учетом изменения вертикальной скорости, и оно равно нулю, когда направление скорости меняется: \[ a_t = 0 \, \text{м/с}^2 \]
   • Нормальное ускорение \( a_n \) можно найти как изменение направления скорости: \[ a_n = \frac{v^2}{R} \] В данном случае, по мере движения шарика данный расчет становится сложным, и обычно применимо в поперечных движениям.

   Однако, в задаче мы можем просто сказать, что нормальное ускорение связано с действующей силой (гравитацией). Поскольку мы рассматриваем только вертикальное движение, нормальное ускорение можно считать равным ускорению свободного падения: \[ a_n = g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2 \]

б) Расстояние от точки бросания

Теперь рассчитаем, на каком расстоянии от точки бросания упадет шарик.

1. Вертикальное движение: Используем уравнение движения для вертикальной координаты: \[ h(t) = h_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 \] Здесь \( h_0 = 1,5 \, \text{м} \), \( v_{0y} \approx 8,66 \, \text{м/с} \) и \( g \approx 9,81 \, \text{м/с}^2 \).

   Подставим \( t = 0,1 \, \text{с} \): \[ h(0,1) = 1,5 + (8,66 \times 0,1) - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot (0,1)^2 \] \[ h(0,1) \approx 1,5 + 0,866 - 0,04905 \approx 2,31795 \, \text{м} \] То есть, высота после \( 0,1 \, \text{с} \) составляет примерно \( 2,32 \, \text{м} \) над уровнем земли.

2. Горизонтальное движение: Используем горизонтальную скорость для расчета расстояния: \[ x(t) = v_{0x} t = 5 \cdot 0,1 = 0,5 \, \text{м} \]

Таким образом, шарик упадет на расстоянии \( 0,5 \, \text{м} \) в горизонтальном направлении от точки бросания.

Ответ

а) Тангенциальное ускорение \( a_t = 0 \, \text{м/с}^2 \), нормальное ускорение \( a_n \approx 9,81 \, \text{м/с}^2 \).

б) Шарик упадет на расстоянии \( 0,5 \, \text{м} \) от точки бросания.