|х+3|+|х-1|<2х+4

Решим неравенство \(|x + 3| + |x - 1| < 2x + 4\).

Для начала нужно рассмотреть различные случаи для значений \(x\), так как модули ведут себя по-разному в разных диапазонах.

1. Находим точки, где выражения внутри модулей равны нулю:

• \(x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3\)
• \(x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1\)

Эти точки разделяют числовую ось на три диапазона:

1. \(x < -3\)
2. \(-3 \leq x < 1\)
3. \(x \geq 1\)

Теперь рассмотрим каждую из этих областей.

Случай 1: \(x < -3\)

В этом случае \(|x + 3| = -(x + 3)\) и \(|x - 1| = -(x - 1)\). Подставим в неравенство: \[ -(x + 3) - (x - 1) < 2x + 4 \] Упростим: \[ -2x - 2 < 2x + 4 \] Переносим все \(x\) в одну сторону: \[ -2 < 4x + 4 \] \[ -6 < 4x \] \[ -\frac{3}{2} < x \] Однако в этом случае мы рассматриваем \(x < -3\), а \(-\frac{3}{2} > -3\), поэтому нет решений в этой области.

Случай 2: \(-3 \leq x < 1\)

Здесь \(|x + 3| = x + 3\) и \(|x - 1| = -(x - 1)\). Подставим в неравенство: \[ (x + 3) - (x - 1) < 2x + 4 \] Упростим: \[ x + 3 - x + 1 < 2x + 4 \] \[ 4 < 2x + 4 \] Выразим \(x\): \[ 0 < 2x \] \[ 0 < x \] Таким образом, в этом диапазоне решения: \(0 < x < 1\).

Случай 3: \(x \geq 1\)

В этом случае \(|x + 3| = x + 3\) и \(|x - 1| = x - 1\). Подставим в неравенство: \[ (x + 3) + (x - 1) < 2x + 4 \] Упростим: \[ 2x + 2 < 2x + 4 \] Здесь получается, что \(2 < 4\), что всегда верно.

Следовательно, в этом случае любые \(x \geq 1\) являются решением.

Итак, обобщая: Решениями данного неравенства будут значения: \[ 0 < x < 1 \quad \text{или} \quad x \geq 1 \]

Совокупное решение: \(0 < x < 1\) или \(x \geq 1\) означает, что решения — это все \(x > 0\).

Если у вас есть вопросы по другим темам или требуется дополнительная помощь, дайте знать!