3х+2(х-1)>4 2х+3<4х-5 х^2+2х-3<0 х^2+3х>0
Давайте подробно разберем каждое неравенство и найдем решения.
Неравенство: \(3x + 2(x - 1) > 4\)
Раскроем скобки:
\[ 3x + 2x - 2 > 4 \]
Объединим подобные члены:
\[ 5x - 2 > 4 \]
Теперь прибавим 2 к обеим сторонам:
\[ 5x > 6 \]
Поделим обе стороны на 5:
\[ x > \frac{6}{5} \]
Таким образом, решение первого неравенства: \(x > 1.2\).
Неравенство: \(2x + 3 < 4x - 5\)
Переносим все члены с \(x\) в одну сторону, а константы — в другую:
\[ 3 + 5 < 4x - 2x \]
Это упрощается до:
\[ 8 < 2x \]
Делим обе стороны на 2:
\[ 4 < x \]
Или, другими словами:
\[ x > 4 \]
Решение второго неравенства: \(x > 4\).
Неравенство: \(x^2 + 2x - 3 < 0\)
Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 3 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Корни находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Это дает нам \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -3\).
Теперь мы знаем, что парабола открыта вверх (так как коэфф. при \(x^2\) положителен) и корни -3 и 1 показывают, где функция меняет знак.
Проверив промежутки:
- Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \(x^2 + 2x - 3 > 0\)
- Для \(-3 < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(x^2 + 2x - 3 < 0\)
- Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \(x^2 + 2x - 3 > 0\)
Таким образом, решение: \((-3 < x < 1)\) или \(x \in (-3, 1)\).
Неравенство: \(x^2 + 3x > 0\)
Сначала найдем корни уравнения \(x^2 + 3x = 0\):
\[ x(x + 3) = 0 \]
Корни: \(x = 0\) и \(x = -3\).
Парабола открыта вверх. Проверяя промежутки:
- Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \(x^2 + 3x > 0\)
- Для \(-3 < x < 0\) (например, \(x = -1\)): \(x^2 + 3x < 0\)
- Для \(x > 0\) (например, \(x = 1\)): \(x^2 + 3x > 0\)
Таким образом, решение: \(x < -3\) или \(x > 0\), что записывается как \(x \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)\).
В результате у нас есть следующие решения:
- \(x > \frac{6}{5}\)
- \(x > 4\)
- \(x \in (-3, 1)\)
- \(x \in (-\infty, -3) \cup (0, +\infty)\)
Если у вас есть вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!
