Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 13, знаменатель — 7 ?$

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 8, знаменатель — 7 ?$

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Question 1

Задача Задача №161929

А

Аноним

30 декабря 2023 17:21 · публичный вопрос

А

Аноним 30 декабря 2023 17:21

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 13, знаменатель — 7 ?$

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 8, знаменатель — 7 ?$

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Answer

a) Для того чтобы определить, могло ли отношение большего числа к меньшему быть равным, нужно воспользоваться неравенством треугольника. Неравенство треугольника гласит: для любых сторон треугольника выполняется неравенство a + b > c, где a, b, c - длины сторон треугольника. В данном случае, пусть большее число будет обозначено как c, меньшее - как a, и третье число - как b. Мы знаем, что a/c = 13/7. Тогда, из неравенства треугольника a + b > c следует, что (13/7)*a + b > c. Очевидно, что 13/7 * a > a, так как 13/7 > 1. Тогда (13/7)*a > a + b, и остается только проверить, может ли a + b быть больше чем c, чтобы убедиться, что неравенство треугольника выполняется. Так как нас не интересуют конкретные численные значения, а только соотношение между числами, можно предположить, что a = 1 и b = 1. Тогда неравенство a + b > c примет вид 1 + 1 > c, что в точности соответствует тому условию, что отношение большего числа к меньшему равно 13/7. Таким образом, ответ на первый вопрос - да, отношение большего из этих чисел к меньшему может быть равно 13/7.

b) Аналогичным образом можем решить второй вопрос. Пусть a/c = 8/7. Тогда (8/7)*a + b > c. Очевидно, что 8/7 * a > a, так как 8/7 > 1. Тогда (8/7)*a > a + b. Если предположить, что a = 1 и b = 1, то неравенство примет вид 8/7 + 1 > c, что эквивалентно 15/7 > c. Так как c - натуральное число, неравенство не выполняется. Следовательно, отношение большего числа к меньшему не может быть равным 8/7.

в) Пусть a - наименьшее число, b - среднее, c - наибольшее число. Мы знаем, что среднее число равно 25, то есть b = 25. Также мы знаем, что a/c - наименьшее значение отношения большего числа к меньшему. Минимальное значение a/c будет, если a примет наименьшее возможное значение, а c наибольшее возможное значение. Предположим, что a = 1 и c = b+1 = 25+1 = 26. Тогда a/c = 1/26, что и будет наименьшим значением отношения. Таким образом, наименьшее значение отношения большего числа к меньшему будет равно 1/26.

Question 2

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 13, знаменатель — 7 ?$

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 8, знаменатель — 7 ?$

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Answer

a) Для того чтобы определить, могло ли отношение большего числа к меньшему быть равным, нужно воспользоваться неравенством треугольника. Неравенство треугольника гласит: для любых сторон треугольника выполняется неравенство a + b > c, где a, b, c - длины сторон треугольника. В данном случае, пусть большее число будет обозначено как c, меньшее - как a, и третье число - как b. Мы знаем, что a/c = 13/7. Тогда, из неравенства треугольника a + b > c следует, что (13/7)*a + b > c. Очевидно, что 13/7 * a > a, так как 13/7 > 1. Тогда (13/7)*a > a + b, и остается только проверить, может ли a + b быть больше чем c, чтобы убедиться, что неравенство треугольника выполняется. Так как нас не интересуют конкретные численные значения, а только соотношение между числами, можно предположить, что a = 1 и b = 1. Тогда неравенство a + b > c примет вид 1 + 1 > c, что в точности соответствует тому условию, что отношение большего числа к меньшему равно 13/7. Таким образом, ответ на первый вопрос - да, отношение большего из этих чисел к меньшему может быть равно 13/7. b) Аналогичным образом можем решить второй вопрос. Пусть a/c = 8/7. Тогда (8/7)*a + b > c. Очевидно, что 8/7 * a > a, так как 8/7 > 1. Тогда (8/7)*a > a + b. Если предположить, что a = 1 и b = 1, то неравенство примет вид 8/7 + 1 > c, что эквивалентно 15/7 > c. Так как c - натуральное число, неравенство не выполняется. Следовательно, отношение большего числа к меньшему не может быть равным 8/7. в) Пусть a - наименьшее число, b - среднее, c - наибольшее число. Мы знаем, что среднее число равно 25, то есть b = 25. Также мы знаем, что a/c - наименьшее значение отношения большего числа к меньшему. Минимальное значение a/c будет, если a примет наименьшее возможное значение, а c наибольшее возможное значение. Предположим, что a = 1 и c = b+1 = 25+1 = 26. Тогда a/c = 1/26, что и будет наименьшим значением отношения. Таким образом, наименьшее значение отношения большего числа к меньшему будет равно 1/26.