Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 21 и 84; б) 27 и 81 в) 32 и 96 г) 75 и 300.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) пар чисел, можно использовать метод разложения на простые множители или воспользоваться алгоритмом Евклида. Давайте решим все предложенные пары:

а) 21 и 84:

• Разложим на простые множители:
  21 = 3 × 7
  84 = 2 × 2 × 3 × 7
  Наибольший общий делитель — это произведение общих множителей. Общие множители: 3 и 7.
  НОД(21, 84) = 3 × 7 = 21.

б) 27 и 81:

• Разложим на простые множители:
  27 = 3 × 3 × 3 = 3³
  81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴
  Наибольший общий делитель — 3 в минимальной степени.
  НОД(27, 81) = 3³ = 27.

в) 32 и 96:

• Разложим на простые множители:
  32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵
  96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁵ × 3
  Общие множители: 2 в степени 5.
  НОД(32, 96) = 2⁵ = 32.

г) 75 и 300:

• Разложим на простые множители:
  75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5²
  300 = 3 × 100 = 3 × 10 × 10 = 3 × 2 × 5 × 2 × 5 = 3 × 2² × 5²
  Общие множители: 3 и 5 в квадрате.
  НОД(75, 300) = 3 × 5² = 75.

Таким образом, результаты: а) 21 и 84 → НОД = 21
б) 27 и 81 → НОД = 27
в) 32 и 96 → НОД = 32
г) 75 и 300 → НОД = 75