Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 13, знаменатель — 7 ?$

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 8, знаменатель — 7 ?$

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Question 1

Задача Задача №161930

А

Аноним

30 декабря 2023 17:22 · публичный вопрос

А

Аноним 30 декабря 2023 17:22

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 13, знаменатель — 7 ?$

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 8, знаменатель — 7 ?$

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Answer

По теореме Пифагора, в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, треугольник тупоугольный, поэтому квадрат большего числа равен сумме квадратов двух других чисел.

а) Пусть большее число равно x, тогда меньшее число равно 7/13 * x, так как отношение большего числа к меньшему равно 13/7.

Тогда квадрат большего числа равен (7/13 * x)^2 + x^2 = 49/169 * x^2 + x^2 = 218/169 * x^2.

Если x является длиной стороны треугольника, то 218/169 * x^2 должно быть полным квадратом, то есть 218/169 * x^2 = y^2, где y - натуральное число.

Перепишем это уравнение в виде 2*x^2 = 169/218 * y^2, тогда x^2 = 169/436 * y^2.

Так как 169/436 - неправильная дробь, то x^2 не может быть целым числом, так как длины сторон треугольника являются натуральными числами. Следовательно, отношение большего числа к меньшему не может быть равно 13/7.

б) Аналогично предыдущему пункту, пусть большее число равно x, тогда меньшее число равно 7/8 * x.

Тогда квадрат большего числа равен (7/8 * x)^2 + x^2 = 49/64 * x^2 + x^2 = 113/64 * x^2.

Если x является длиной стороны треугольника, то 113/64 * x^2 должно быть полным квадратом, то есть 113/64 * x^2 = y^2, где y - натуральное число.

Перепишем это уравнение в виде 113x^2 = 64y^2. Так как 113 и 64 - взаимно простые числа, чтобы равенство выполнялось, должно быть, что 113 - полный квадрат и x^2 - полный квадрат.

Однако, 113 не является полным квадратом, следовательно, отношение большего числа к меньшему не может быть равно 8/7.

в) Пусть меньшее число равно x, тогда другие два числа равны 25 и 2 * x.

Тогда квадрат большего числа равен 25^2 + (2 * x)^2 = 625 + 4 * x^2 = 625 + 4x^2.

Отношение большего числа к меньшему равно (625 + 4x^2)/x^2 = 625/x^2 + 4.

Так как x - натуральное число, то 625/x^2 будет минимальным, когда x^2 будет максимально возможным, то есть x^2 = 1.

Тогда отношение будет равно 625/1 + 4 = 629.

Следовательно, наименьшее значение отношения большего числа к меньшему равно 629.

Question 2

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 13, знаменатель — 7 ?$

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь, числитель — 8, знаменатель — 7 ?$

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Answer

По теореме Пифагора, в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, треугольник тупоугольный, поэтому квадрат большего числа равен сумме квадратов двух других чисел. а) Пусть большее число равно x, тогда меньшее число равно 7/13 * x, так как отношение большего числа к меньшему равно 13/7. Тогда квадрат большего числа равен (7/13 * x)^2 + x^2 = 49/169 * x^2 + x^2 = 218/169 * x^2. Если x является длиной стороны треугольника, то 218/169 * x^2 должно быть полным квадратом, то есть 218/169 * x^2 = y^2, где y - натуральное число. Перепишем это уравнение в виде 2*x^2 = 169/218 * y^2, тогда x^2 = 169/436 * y^2. Так как 169/436 - неправильная дробь, то x^2 не может быть целым числом, так как длины сторон треугольника являются натуральными числами. Следовательно, отношение большего числа к меньшему не может быть равно 13/7. б) Аналогично предыдущему пункту, пусть большее число равно x, тогда меньшее число равно 7/8 * x. Тогда квадрат большего числа равен (7/8 * x)^2 + x^2 = 49/64 * x^2 + x^2 = 113/64 * x^2. Если x является длиной стороны треугольника, то 113/64 * x^2 должно быть полным квадратом, то есть 113/64 * x^2 = y^2, где y - натуральное число. Перепишем это уравнение в виде 113*x^2 = 64*y^2. Так как 113 и 64 - взаимно простые числа, чтобы равенство выполнялось, должно быть, что 113 - полный квадрат и x^2 - полный квадрат. Однако, 113 не является полным квадратом, следовательно, отношение большего числа к меньшему не может быть равно 8/7. в) Пусть меньшее число равно x, тогда другие два числа равны 25 и 2 * x. Тогда квадрат большего числа равен 25^2 + (2 * x)^2 = 625 + 4 * x^2 = 625 + 4x^2. Отношение большего числа к меньшему равно (625 + 4x^2)/x^2 = 625/x^2 + 4. Так как x - натуральное число, то 625/x^2 будет минимальным, когда x^2 будет максимально возможным, то есть x^2 = 1. Тогда отношение будет равно 625/1 + 4 = 629. Следовательно, наименьшее значение отношения большего числа к меньшему равно 629.