Докажите что середины сторон произвольного четырёхугольника является вершинами параллелограммы теорема вереньона

Чтобы доказать теорему, согласно которой середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD. Обозначим середины его сторон как M, N, P, Q, где M - середина стороны AB, N - середина стороны BC, P - середина стороны CD, а Q - середина стороны DA.

1. Обозначим точки: Точки M, N, P и Q обозначим следующим образом:

   • \( M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \)
   • \( N = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \)
   • \( P = \left( \frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2} \right) \)
   • \( Q = \left( \frac{x_D + x_A}{2}, \frac{y_D + y_A}{2} \right) \)

2. Показать, что MN и PQ равны: Рассмотрим векторы MN и PQ:

   • Вектор \( \overrightarrow{MN} = N - M \)
   • Вектор \( \overrightarrow{PQ} = Q - P \)

   Вычислим координаты этих векторов: \[ \overrightarrow{MN} = \left( \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} - \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{x_C - x_A}{2}, \frac{y_C - y_A}{2} \right) \] \[ \overrightarrow{PQ} = \left( \frac{x_D + x_A}{2} - \frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_D + y_A}{2} - \frac{y_C + y_D}{2} \right) = \left( \frac{x_A - x_C}{2}, \frac{y_A - y_C}{2} \right) \]

   Мы видим, что \( \overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{PQ} \), следовательно, MN и PQ равны и направлены в противоположные стороны.

3. Показать, что MP и NQ равны: Аналогично вычислим векторы MP и NQ: \[ \overrightarrow{MP} = P - M = \left( \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_C + y_D}{2} - \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{x_C + x_D - x_A - x_B}{2}, \frac{y_C + y_D - y_A - y_B}{2} \right) \]

   \[ \overrightarrow{NQ} = Q - N = \left( \frac{x_D + x_A}{2} - \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_D + y_A}{2} - \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{x_D + x_A - x_B - x_C}{2}, \frac{y_D + y_A - y_B - y_C}{2} \right) \]

   Итак, мы можем заметить, что \( \overrightarrow{MP} = -\overrightarrow{NQ} \).

Таким образом, у нас есть две пары равных и параллельных отрезков: MN || PQ и MP || NQ. Это и доказывает, что M, N, P и Q являются вершинами параллелограмма.

Это и есть тот факт, что середины сторон произвольного четырёхугольника образуют параллелограмм, что и подтверждает теорема Вереньона.